Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a p dg côsi \(a\sqrt{b-1}=a.1.\sqrt{b-1}\le a.\dfrac{1+b-1}{2}=\dfrac{ab}{2}\)
ttuong tu \(b\sqrt{a-1}\le\dfrac{ab}{2}\)
nên vt\(\le ab\)
dau = xảy ra a=b=2
Ta có:
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{\left(b-1\right).1}\le\frac{b-1+1}{2}=\frac{b}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(a\sqrt{b-1}=\frac{ab}{2}\) \(\left(1\right)\)
Tương tự, ta cũng có: \(b\sqrt{a-1}=\frac{ab}{2}\) \(\left(2\right)\)
Cộng hai bđt trên, suy ra đpcm
Bài 1: (không dùng Cô-si) Bình phương hai vế, ta được:
\(c\left(a-c\right)+c\left(b-c\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\le ab\)
\(ac-2c^2+bc+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\le ab\)
\(0\le\left(ab-ac-bc+c^2\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+c^2\)
\(0\le\left(a-c\right)\left(b-c\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+c^2\)
\(0\le\left(\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}-c\right)^2\)(đúng)
Vậy BĐT đúng. Xảy ra khi \(a=b=2c\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm \(a-1,b-1\)(\(\left(a.b\ge1\right)\):
\(\left(a-1\right)+1\ge2\sqrt{a-1}\Rightarrow\sqrt{a-1}\le\frac{a}{2}\)\(\Leftrightarrow b\sqrt{a-1}\le\frac{ab}{2}\)
Tương tự: \(a\sqrt{b-1}\le\frac{ab}{2}\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
\(''=''\Leftrightarrow a=b=2\)
\(VT\le\frac{a\left(b-1+1\right)}{2}+\frac{b\left(a-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}+\frac{ab}{2}=ab\) ( Cosi ngược dấu )
:))
Áp dụng cô si
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\\\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{cb}}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{\frac{1}{ac}}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ac}}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=0\)
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2}\\\sqrt{y-1}\le\frac{y-1+1}{2}\\\sqrt{z-2}\le\frac{z-2+1}{2}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\le\frac{x+1+y-1+1+z-2+1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}\le\frac{x+y+z}{2}\)
\("="\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\\z=3\end{cases}}\)
Sửa ĐK của c) : a, b, c > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}=\frac{2}{\sqrt{ab}}\)
\(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{\frac{1}{bc}}=\frac{2}{\sqrt{bc}}\)
\(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge2\sqrt{\frac{1}{ca}}=\frac{2}{\sqrt{ca}}\)
Cộng các vế tương ứng
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}+\frac{2}{\sqrt{bc}}+\frac{2}{\sqrt{ca}}\)
=> \(2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge2\left(\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\right)\)
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\)
=> đpcm
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp Cauchy ngược dấu ta có:
\((a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1})^2=(\sqrt{a}.\sqrt{ab-a}+\sqrt{b}.\sqrt{ba-b})^2\leq (a+b)(ab-a+ba-b)\)
\(\leq \left(\frac{a+b+ab-a+ba+b}{2}\right)^2=(ab)^2\)
\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)
em cảm ơn cô ạAkai Haruma