Question

[Cold Wind]

1) a,b > 0. Tìm GTNN

\(P=\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Với những bài như này em chỉ cần nắm rõ điểm rơi rồi phân tích hợp lý để áp dụng những BĐT quen thuộc là được.

Ta có:

\(P=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}=\frac{3(a+b)}{4\sqrt{ab}}+\frac{a+b}{\sqrt{4ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow 3(a+b)\geq 6\sqrt{ab}\Rightarrow \frac{3(a+b)}{4\sqrt{ab}}\geq \frac{6\sqrt{ab}}{4\sqrt{ab}}=\frac{3}{2}\)

Và:

\(\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

Do đó:

\(P=\frac{3(a+b)}{4\sqrt{ab}}+\frac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\geq \frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}\)

Vậy \(P_{\min}=\frac{5}{2}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b\)

Answer 2

[ngonhuminh]

Cold Wind không cần kiểu mò mẫn (điểm rơi ) .

\(t=\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}\) quá đơn giản nhận ra \(t\ge2\)

\(P\left(t\right)=t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{t^2+1}{t}=m\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t^2-mt+1=0\\t\ge2\end{matrix}\right.\)\(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)

(1)có nghiệm<=> :\(\left\{{}\begin{matrix}m\in\left(-vc;-2\right)U\left(2;vc\right)\\t=\dfrac{m\pm\sqrt{m^2-4}}{2}\end{matrix}\right.\)

\(t\ge2\Leftrightarrow\dfrac{m+\sqrt{m^2-4}}{2}\ge2\Leftrightarrow\sqrt{m^2-4}\ge4-m\)

m>4 luôn đúng

xét \(m\le4\) \(\Leftrightarrow m^2-4\ge16-8m+m^2\Leftrightarrow m\ge\dfrac{20}{8}=\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow P_{min}=\dfrac{5}{2}\) khi t =2 <=> a=b>0