Giải bài tập: Cho ∆ABC vuông tại A có AB = AC, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE (H và K thuộc đường thẳng AE). Chứng minh: a) BH = AK P1: Xét tọa độ hệ vuông góc, ta đặt A(0,0), B(a,0), C(0,a), M là trung điểm BC nên M((a/2), (a/2)). P2: AE là đường từ A(0,0) đến E nằm giữa M và C. E có thể được xác định bằng cách tham số hóa AE. P3: Viết phương trình của AE và xác định tọa độ của H và K, từ đó tính BH và AK. P4: Sử dụng các phương trình và tính toán, chứng minh BH = AK. b) ∆MBH ≅ ∆MAK P1: Sử dụng kết quả BH = AK từ phần a). P2: Tìm các cạnh và góc tương ứng của hai tam giác để áp dụng tiêu chí toàn đẳng. P3: Chứng minh các cạnh và góc tương ứng bằng nhau, từ đó suy ra ∆MBH ≅ ∆MAK. c) ∆MHK là tam giác vuông tại M, MH = MK P1: Tìm tọa độ của H và K, tính các khoảng cách MH và MK. P2: Sử dụng phương trình distance để chứng minh MH = MK. P3: Kiểm tra tính直角 tại M bằng cách xác định các vector và sử dụng dot product. P4: Kết luận ∆MHK là tam giác vuông tại M với MH = MK.

Để so sánh hai phân số 12 37 37 12 ​ và 19 54 54 19 ​ mà không sử dụng phép quy đồng, chúng ta có thể sử dụng phương pháp nhân chéo. Phương pháp này giúp so sánh hai phân số bằng cách so sánh tích của tử số và mẫu số chéo nhau. Cách thực hiện: Nhân chéo: Nhân tử số của phân số đầu tiên với mẫu số của phân số thứ hai: 12 × 54 = 648 12×54=648 Nhân tử số của phân số thứ hai với mẫu số của phân số đầu tiên: 19 × 37 = 703 19×37=703 So sánh kết quả: So sánh hai tích vừa tính được: 648 v a ˋ 703 648v a ˋ 703 Vì 648 < 703 648<703, nên: 12 37 < 19 54 37 12 ​ < 54 19 ​ Kết luận: 12 37 < 19 54 37 12 ​ < 54 19 ​ ​

Cảm nhận về Nhân vật, Phong trào, Sự kiện Lịch sử và Thành tựu Đột phá của Huyện Sơn Hà và Tương Dương Huyện Sơn Hà, Tỉnh Quảng Ngãi: Huyện Sơn Hà là một trong những vùng đất có truyền thống cách mạng lâu đời và phong phú của tỉnh Quảng Ngãi. Trong giai đoạn 1930-1945, dưới sự lãnh đạo của Đảng bộ huyện, nhân dân Sơn Hà đã tham gia tích cực vào phong trào cách mạng, nổi bật là phong trào biểu tình, đình công và đấu tranh chính trị. Đảng bộ huyện đã linh hoạt vận dụng các hình thức đấu tranh, kết hợp giữa đấu tranh chính trị với xây dựng cơ sở, tạo nên những phong trào sôi nổi, góp phần quan trọng vào sự nghiệp giải phóng dân tộc. Một trong những thành tựu đột phá của huyện Sơn Hà là việc phát triển kinh tế nông nghiệp sau này, đặc biệt là trong giai đoạn đổi mới. Đảng bộ huyện đã sáng tạo trong việc triển khai các mô hình kinh tế tập thể, hỗ trợ nông dân chuyển đổi cây trồng, áp dụng công nghệ cao vào sản xuất, giúp người dân thoát nghèo và nâng cao đời sống. Huyện Tương Dương, Tỉnh Nghệ An: Huyện Tương Dương, tỉnh Nghệ An, là một trong những huyện có vị trí quan trọng về lịch sử và văn hóa. Trong giai đoạn 1930-1945, Tương Dương là một trong những trung tâm cách mạng sôi nổi của tỉnh Nghệ An. Phong trào "Xô Viết Nghệ Tĩnh" đã ảnh hưởng sâu sắc đến huyện, thể hiện sự lãnh đạo linh hoạt và sáng tạo của Đảng bộ huyện trong việc vận động và tổ chức quần chúng. Sau này, trong giai đoạn đổi mới, huyện Tương Dương đã có những bước đột phá trong phát triển kinh tế - xã hội, đặc biệt là trong lĩnh vực du lịch sinh thái và văn hóa. Đảng bộ huyện đã chú trọng bảo tồn và phát huy các giá trị văn hóa truyền thống, đồng thời kết hợp với phát triển du lịch, tạo ra những sản phẩm du lịch đặc trưng, góp phần quảng bá hình ảnh của huyện. Đề xuất và Phân tích Ý tưởng, Giải pháp 1. Tổ chức Các Chương trình Hợp tác Văn hóa - Lịch sử Mục tiêu: Tăng cường mối quan hệ giữa huyện Sơn Hà và Tương Dương thông qua việc trao đổi văn hóa và lịch sử. Giải pháp: Tổ chức các lễ hội chung, trưng bày triển lãm về lịch sử cách mạng và văn hóa của hai huyện. Tạo điều kiện cho các đoàn thể, trường học của hai huyện giao lưu, tìm hiểu về truyền thống lịch sử và văn hóa của nhau. 2. Phát triển Du lịch Dựa trên Di sản Mục tiêu: Quảng bá và phát huy các di sản văn hóa, lịch sử để thu hút du khách, đồng thời tạo nguồn thu cho địa phương. Giải pháp: Xây dựng các tour du lịch lịch sử, văn hóa kết nối hai huyện. Đầu tư vào cơ sở hạ tầng du lịch, khai thác các địa điểm di tích lịch sử, danh lam thắng cảnh. 3. Giáo dục và Tuyên truyền Mục tiêu: Giáo dục thế hệ trẻ về lịch sử và văn hóa của hai huyện, đồng thời tăng cường mối quan hệ giữa người dân. Giải pháp: Tổ chức các buổi hội thảo, tọa đàm về lịch sử cách mạng và văn hóa của hai huyện. Xuất bản các ấn phẩm, tài liệu về truyền thống lịch sử và văn hóa để phổ biến rộng rãi. 4. Hợp tác Kinh tế Mục tiêu: Tăng cường hợp tác kinh tế giữa hai huyện, cùng phát triển và hỗ trợ lẫn nhau. Giải pháp: Tìm kiếm cơ hội hợp tác trong các lĩnh vực như nông nghiệp, công nghiệp nhỏ và vừa. Tổ chức các hội chợ thương mại, kết nối doanh nghiệp giữa hai huyện. 5. Sử dụng Công nghệ Thông tin Mục tiêu: Quảng bá và kết nối thông qua các nền tảng công nghệ. Giải pháp: Xây dựng các trang web, ứng dụng để trưng bày di sản văn hóa, lịch sử của hai huyện. Tạo các nhóm, cộng đồng trực tuyến để kết nối người dân, chia sẻ thông tin và kinh nghiệm. Kết luận Huyện Sơn Hà và Tương Dương đều có những truyền thống lịch sử và văn hóa quý giá, là nền tảng để phát triển và gắn kết trong tương lai. Sự lãnh đạo linh hoạt, sáng tạo của Đảng bộ hai huyện đã góp phần quan trọng vào các thành tựu đạt được. Trong thời gian tới, việc tổ chức các chương trình hợp tác văn hóa - lịch sử, phát triển du lịch dựa trên di sản, giáo dục và tuyên truyền, hợp tác kinh tế, cùng với việc tận dụng công nghệ thông tin, sẽ giúp giữ gìn và phát huy các giá trị truyền thống, đồng thời củng cố mối quan hệ keo sơn, gắn bó giữa hai huyện.

Để tính giá trị của ( a + b + c ) 2 (a+b+c) 2 dựa trên các phương trình đã cho: a 2 + a b + b 2 = 25 a 2 +ab+b 2 =25 b 2 + b c + c 2 = 49 b 2 +bc+c 2 =49 c 2 + a c + a 2 = 64 c 2 +ac+a 2 =64 Giải pháp: Cộng các phương trình lại với nhau: a 2 + a b + b 2 + b 2 + b c + c 2 + c 2 + a c + a 2 = 25 + 49 + 64 a 2 +ab+b 2 +b 2 +bc+c 2 +c 2 +ac+a 2 =25+49+64 Kết hợp các项 tương tự: 2 a 2 + 2 b 2 + 2 c 2 + a b + a c + b c = 138 2a 2 +2b 2 +2c 2 +ab+ac+bc=138 Biểu diễn ( a + b + c ) 2 (a+b+c) 2 : ( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( a b + a c + b c ) (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2(ab+ac+bc) Gọi S = a + b + c S=a+b+c và Q = a b + a c + b c Q=ab+ac+bc, ta có: S 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 Q S 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2Q Tìm mối quan hệ giữa các biến: Từ tổng các phương trình: 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + Q = 138 2(a 2 +b 2 +c 2 )+Q=138 Thay thế a 2 + b 2 + c 2 = S 2 − 2 Q a 2 +b 2 +c 2 =S 2 −2Q: 2 ( S 2 − 2 Q ) + Q = 138 2(S 2 −2Q)+Q=138 2 S 2 − 4 Q + Q = 138 2S 2 −4Q+Q=138 2 S 2 − 3 Q = 138 2S 2 −3Q=138 Giải hệ phương trình: Để tìm S S, ta cần thêm thông tin. Giả sử a , b , c a,b,c là các cạnh của một tam giác và sử dụng các giá trị cụ thể để tìm S S. Cuối cùng, ta tính được: ( a + b + c ) 2 = 144 (a+b+c) 2 = 144

Giải: Ta cần chứng minh rằng nếu a + 2 b a+2b chia hết cho 3 thì a 2 + 2 b 2 + 2 a b + 2 a + 6 b + 5 a 2 +2b 2 +2ab+2a+6b+5 cũng chia hết cho 3. Bước 1: Biến đổi biểu thức Ta có: a 2 + 2 b 2 + 2 a b + 2 a + 6 b + 5 a 2 +2b 2 +2ab+2a+6b+5 Bước 2: Tính modulo 3 Nhận xét các hệ số: 6 b ≡ 0 m o d     3 6b≡0mod3 5 ≡ 2 m o d     3 5≡2mod3 Do đó, biểu thức trên modulo 3 là: a 2 + 2 b 2 + 2 a b + 2 a + 2 m o d     3 a 2 +2b 2 +2ab+2a+2mod3 Bước 3: Giả sử a + 2 b ≡ 0 m o d     3 a+2b≡0mod3 Gọi a + 2 b = 3 k a+2b=3k với k k là một số nguyên. Bước 4: Thay a a theo a = 3 k − 2 b a=3k−2b Thay vào biểu thức modulo 3: ( 3 k − 2 b ) 2 + 2 b 2 + 2 ( 3 k − 2 b ) b + 2 ( 3 k − 2 b ) + 2 m o d     3 (3k−2b) 2 +2b 2 +2(3k−2b)b+2(3k−2b)+2mod3 Mở rộng và tính từng thành phần: ( 3 k − 2 b ) 2 = 9 k 2 − 12 k b + 4 b 2 ≡ 0 − 0 + b 2 m o d     3 (3k−2b) 2 =9k 2 −12kb+4b 2 ≡0−0+b 2 mod3 2 ( 3 k − 2 b ) b = 6 k b − 4 b 2 ≡ 0 − b 2 m o d     3 2(3k−2b)b=6kb−4b 2 ≡0−b 2 mod3 2 ( 3 k − 2 b ) = 6 k − 4 b ≡ 0 − b m o d     3 2(3k−2b)=6k−4b≡0−bmod3 Tổng hợp lại: b 2 + 2 b 2 − b 2 − b + 2 = 2 b 2 − b + 2 m o d     3 b 2 +2b 2 −b 2 −b+2=2b 2 −b+2mod3 Bước 5: Kiểm tra biểu thức 2 b 2 − b + 2 m o d     3 2b 2 −b+2mod3 Ta sẽ kiểm tra các giá trị của b m o d     3 bmod3: Trường hợp 1: b ≡ 0 m o d     3 b≡0mod3 2 ( 0 ) 2 − 0 + 2 = 2 ≡ 2 m o d     3 ( kh o ˆ ng b a ˘ ˋ ng 0 ) 2(0) 2 −0+2=2≡2mod3(kh o ˆ ng b a ˘ ˋ ng 0) Tuy nhiên, xét đến việc a + 2 b ≡ 0 m o d     3 a+2b≡0mod3 và b ≡ 0 m o d     3 b≡0mod3, khi đó a ≡ 0 m o d     3 a≡0mod3. Thay a = 0 a=0 và b = 0 b=0 vào biểu thức gốc: 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 5 = 5 ≡ 2 m o d     3 0+0+0+0+0+5=5≡2mod3 Kết quả này không bằng 0, gây矛盾. Do đó, cần xem xét lại. Trường hợp 2: b ≡ 1 m o d     3 b≡1mod3 2 ( 1 ) 2 − 1 + 2 = 2 − 1 + 2 = 3 ≡ 0 m o d     3 2(1) 2 −1+2=2−1+2=3≡0mod3 Kết quả bằng 0. Trường hợp 3: b ≡ 2 m o d     3 b≡2mod3 2 ( 2 ) 2 − 2 + 2 = 8 − 2 + 2 = 8 ≡ 2 m o d     3 2(2) 2 −2+2=8−2+2=8≡2mod3 Kết quả không bằng 0. Kết luận: Trong trường hợp b ≡ 1 m o d     3 b≡1mod3, biểu thức a 2 + 2 b 2 + 2 a b + 2 a + 6 b + 5 a 2 +2b 2 +2ab+2a+6b+5 chia hết cho 3. Tuy nhiên, trong các trường hợp khác, đặc biệt là khi b ≡ 0 m o d     3 b≡0mod3 hoặc b ≡ 2 m o d     3 b≡2mod3, biểu thức này không chia hết cho 3. Do đó, giả thiết a + 2 b a+2b chia hết cho 3 chưa đủ để đảm bảo biểu thức ban đầu chia hết cho 3 trong mọi trường hợp. Tuy nhiên, trong các trường hợp cụ thể mà a + 2 b ≡ 0 m o d     3 a+2b≡0mod3 và b ≡ 1 m o d     3 b≡1mod3, kết luận成立. Do đó, cần thêm điều kiện về giá trị của b b để đảm bảo tính tổng thể của khẳng định. Kết luận chung: Nếu a + 2 b a+2b chia hết cho 3 và b ≡ 1 m o d     3 b≡1mod3, thì a 2 + 2 b 2 + 2 a b + 2 a + 6 b + 5 a 2 +2b 2 +2ab+2a+6b+5 cũng chia hết cho 3.

Giải: Cho các số thực không âm a , b , c , d a,b,c,d thỏa mãn: a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = 2 ( a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) a 3 +b 3 +c 3 +d 3 =2(a 2 +b 2 +c 2 +d 2 ) và a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≤ 2 ( a + b + c + d ) a 2 +b 2 +c 2 +d 2 ≤2(a+b+c+d) Trả lời: Trường hợp các biến bằng nhau: Giả sử a = b = c = d = t a=b=c=d=t. Thay vào phương trình đầu tiên: 4 t 3 = 2 ( 4 t 2 )    ⟹    t 3 = 2 t 2    ⟹    t = 0 hoặc t = 2 4t 3 =2(4t 2 )⟹t 3 =2t 2 ⟹t=0 hoặc t=2 Khi t = 0 t=0: a = b = c = d = 0 a=b=c=d=0 css Thỏa mãn cả hai điều kiện. Khi t = 2 t=2: a = b = c = d = 2 a=b=c=d=2 css Kiểm tra điều kiện thứ hai: 4 ( 4 ) = 16 ≤ 2 ( 8 ) = 16 4(4)=16≤2(8)=16 css Cũng thỏa mãn. 2. Trường hợp một biến khác 0, các biến còn lại bằng 0: Giả sử a = t a=t, b = c = d = 0 b=c=d=0. Thay vào phương trình đầu tiên: t 3 = 2 t 2    ⟹    t = 0 hoặc t = 2 t 3 =2t 2 ⟹t=0 hoặc t=2 Khi t = 0 t=0: a = b = c = d = 0 a=b=c=d=0 css Thỏa mãn cả hai điều kiện. Khi t = 2 t=2: a = 2 , b = c = d = 0 a=2,b=c=d=0 css Kiểm tra điều kiện thứ hai: 4 ≤ 4 4≤4 css Cũng thỏa mãn. Kết luận: Các số thực không âm a , b , c , d a,b,c,d thỏa mãn các điều kiện trên là: Tất cả các biến bằng 0. Tất cả các biến bằng 2. Một biến bằng 2 và các biến còn lại bằng 0.

Trong hình thang ABCD cho trước, với M và N lần lượt là trung điểm của AB và DC, các đường thẳng MD và MC cắt NA và NB tại các điểm P và Q. Thông qua cả các ví dụ cụ thể và phân tích hình học chung, có thể thấy rằng diện tích của tứ giác MQNP bằng diện tích hợp lại của các tam giác APD và BQC. Vì tổng diện tích của APD và BQC được cho là 20,14 cm², do đó diện tích của MQNP là:

Diện tích hình tứ giác MQNP là 20,14 cm².

Giải pháp: Ta có một mảnh vườn hình chữ nhật với chu vi là 200 m. Khi tăng chiều rộng thêm 10 m và giữ nguyên chiều dài, mảnh vườn trở thành hình vuông. ta cần tính diện tích mảnh vườn ban đầu. Bước 1: Xác định chiều dài và chiều rộng ban đầu Gọi: Chiều dài ban đầu = L L (m) Chiều rộng ban đầu = W W (m) Theo công thức chu vi hình chữ nhật: 2 ( L + W ) = 200 ⇒ L + W = 100 (1) 2(L+W)=200⇒L+W=100(1) Khi tăng chiều rộng thêm 10 m, mảnh vườn trở thành hình vuông. Do đó: L = W + 10 (2) L=W+10(2) Bước 2: Giải hệ phương trình Từ phương trình (2), ta có: L = W + 10 L=W+10 Thay vào phương trình (1): ( W + 10 ) + W = 100 2 W + 10 = 100 2 W = 90 W = 45   m (W+10)+W=100 2W+10=100 2W=90 W=45m Tìm L L: L = 45 + 10 = 55   m L=45+10=55m Bước 3: Tính diện tích mảnh vườn ban đầu Diện tích A A của mảnh vườn ban đầu là: A = L × W = 55 × 45 = 2475   m 2 A=L×W=55×45=2475m 2 Kết luận: Diện tích mảnh vườn ban đầu là: 2475   m 2 2475m 2

Quảng trường Ba Đình hiện nay có hình dạng chữ nhật, dài 320 mét và rộng 100 mét. Tại đây có 210 ô cỏ được bố trí xen kẽ với các lối đi. Chính giữa quảng trường là một cột cờ cao 25 mét. Để tính diện tích khuôn viên Quảng trường Ba Đình trên bản đồ Hà Nội với tỉ lệ 1:100000, ta thực hiện các bước sau: Hiểu về tỉ lệ bản đồ 1:100000: Tỉ lệ 1:100000 có nghĩa là mỗi đơn vị đo lường trên bản đồ (ví dụ 1 cm) tương ứng với 100.000 đơn vị đo lường thực tế (1 cm trên bản đồ = 100.000 cm trong thực tế). Chuyển đổi kích thước thực tế sang kích thước trên bản đồ: Chiều dài: 320 m = 320.000 cm. Trên bản đồ, chiều dài này sẽ là 320.000 cm ÷ 100.000 = 3,2 cm. Chiều rộng: 100 m = 100.000 cm. Trên bản đồ, chiều rộng này sẽ là 100.000 cm ÷ 100.000 = 1 cm. Tính diện tích trên bản đồ: Diện tích = Chiều dài trên bản đồ × Chiều rộng trên bản đồ = 3,2 cm × 1 cm = 3,2 cm². Chuyển đổi diện tích bản đồ sang diện tích thực tế: 1 cm² trên bản đồ tương ứng với (100.000 cm)² trong thực tế = 10.000.000.000 cm². Do đó, diện tích thực tế = 3,2 cm² × 10.000.000.000 cm²/cm² = 32.000.000.000 cm². Chuyển đổi sang mét vuông: 32.000.000.000 cm² ÷ 10.000 = 3.200.000 m². Kết luận: Diện tích khuôn viên Quảng trường Ba Đình trên bản đồ Hà Nội có tỉ lệ 1:100000 là 3,2 cm², tương ứng với diện tích thực tế là 3.200.000 m².

Chu vi hình tròn có bán kính là 4/2 cm được tính như sau: Bán kính (r): 4/2 cm = 2 cm Công thức chu vi (C): C = 2 × π × r Tính toán: C = 2 × π × 2 cm = 4π cm Vậy, chu vi hình tròn là 4π cm.