Question

[Nguyễn Huệ Lam]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

G là trọng tâm của tam giác ABC. M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh: \(OA\perp EF\).  Tìm kết quả tương tự.

b) Chứng minh: \(OM=\frac{1}{2}AH\).Tìm kết quả tương tự.

c) Chứng minh: H, G, O thẳng hàng

d) EF cắt (O) lần lượt tại P và Q. Chứng minh: \(AP^2=AQ^2=2.OM.AD\)

e)  Chứng minh: \(\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{BC^2}=\frac{1}{EF^2}\)

f)  Chứng minh: \(AE.BF.CD=AF.BD.CE=EF.DE.DF\)

g)  Chứng minh: \(\left(DE+DF+EF\right).R=AD.BC\)

h) Gọi N là giao điểm của (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF.  Chứng minh: H, M, N thẳng hàng

i)  Chứng minh: AN, EF, BC đồng quy

k)  Chứng minh: OA, OB, OC, OD, OE, OF chia tam giác ABC thành 3 cặp tam giác có diện tich bằng nhau

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

O A B C D E F H M G I

a) Kẻ đường thẳng Ax tiếp xúc với đường tròn (O) tại A.

Khi đó \(\widehat{FAx}=\widehat{ACB}\)  (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)

Ta dễ thấy  BFEC là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{AFE}=\widehat{ACB}\)

Vậy nên \(\widehat{AFE}=\widehat{FAx}\), chúng lại ở vị trí so le trong nên Ax // EF

Mà \(Ax\perp OA\Rightarrow EF\perp OA\)

Tương tự ta có : \(FD\perp OB;ED\perp OC\)

b) Kẻ đường kính CI. Khi đó ta có ngay IB // AH (Cùng vuông góc BC) ; IA // BH (Cùng vuông góc AC). Vậy nên tứ giác AIBH là hình bình hành và AH = IB.

Xét tam giác IBC có M là trung điểm BC, OC = OB nên OM là đường trung bình. Vậy \(OM=\frac{1}{2}IB\Rightarrow OM=\frac{1}{2}AH\)

Tương tự, gọi N, P  lần lượt là trung điểm AB, AC thì \(ON=\frac{1}{2}BH;OP=\frac{1}{2}CH\)

c) Gọi G' là giao điểm của AM và HO.

Ta thấy OM // AH nên áp dụng định lý Ta let ta có:

\(\frac{MG'}{G'A}=\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2}\)

Độ ẨM là đường trung tuyến, AG' = G'M nên G' là trọng tâm tam giác ABC hay G' trùng G. Vậy H, G, O thẳng hàng.

Answer 2

[Cô Hoàng Huyền]

O A B C D E F H M G J I P Q X

d)  Gọi giao điểm của OA với PQ là J. Khi đó J là trung điểm QP.

Xét tam giác APQ có AJ là đường cao đồng thời trung tuyến nên nó là tam giác cân.

Vậy thì AP = AQ hay AP² = AQ².   (1)

Kẻ đường kính AX. 

Xét tam giác vuông AQX, đường cao  QJ, ta có: 

\(AQ^2=AJ.AX\)   (2)

Tứ giác BFEC nội tiếp nên \(\widehat{AFJ}=\widehat{ACB}=\widehat{AXB}\)

Suy ra \(\Delta AFJ\sim\Delta AXB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AX}=\frac{AJ}{AB}\Rightarrow AJ.AX=AF.AB\)

Ta cũng có \(\Delta AFH\sim\Delta ADB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AD}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow AD.AH=AF.AB\)

Vậy thì \(AJ.AX=AH.AD\) hay \(AJ.AX=2.OM.AD\)    (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra  AP² = AQ² = 2OM.AD