Question

[Lê Thị Hướng]

xét các số nguyên x1;x2;...;x5 thỏa mãn (1 + x1)(1 + x2)···(1 + x5) = (1−x1)(1−x2)···(1−x5) = x. chứng minh rằng xx1x2...x5=0

Answer 1

[Trần Thị Khiêm]

Đề bài:

Xét các số nguyên \(x_{1} , x_{2} , \ldots , x_{5}\) thỏa mãn

\(\left(\right. 1 + x_{1} \left.\right) \left(\right. 1 + x_{2} \left.\right) \hdots \left(\right. 1 + x_{5} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 1 - x_{1} \left.\right) \left(\right. 1 - x_{2} \left.\right) \hdots \left(\right. 1 - x_{5} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } x .\)

Chứng minh rằng

\(x \cdot x_{1} x_{2} \hdots x_{5} = 0.\)

---

Lời giải:

Gọi

\(P = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 + x_{i} \left.\right) , Q = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 - x_{i} \left.\right) .\)

Theo đề: \(P = Q = x\).

---

Bước 1: Xét tích \(P Q\)

\(P Q = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 + x_{i} \left.\right) \left(\right. 1 - x_{i} \left.\right) = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 - x_{i}^{2} \left.\right) .\)

---

Bước 2: Sử dụng giả thiết \(P = Q\)

Từ \(P = Q\), suy ra:

\(\prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 + x_{i} \left.\right) = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 - x_{i} \left.\right) .\)

Chuyển vế:

\(& \prod_{i = 1}^{5} \frac{1 + x_{i}}{1 - x_{i}} = 1. & & (\text{1})\)

---

Bước 3: Phân tích trường hợp

• Nếu có một \(x_{i} = 1\), thì vế phải (1) có mẫu số bằng 0 → đẳng thức chỉ đúng khi đồng thời tử số cũng bằng 0, tức là có một \(x_{j} = - 1\).
  Trong trường hợp này, trong tích \(P = \left(\right. 1 + x_{1} \left.\right) \left(\right. 1 + x_{2} \left.\right) \hdots\), sẽ có một thừa số bằng 0.
  ⇒ \(x = 0\).
  Do đó \(x x_{1} x_{2} \hdots x_{5} = 0\).
• Nếu có một \(x_{i} = - 1\), tương tự, \(x = 0\).
  ⇒ Kết quả đúng.
• Nếu không có số nào bằng \(\pm 1\):
  Khi đó (1) hoàn toàn xác định.
  Lưu ý rằng \(\frac{1 + x_{i}}{1 - x_{i}}\) là một phân số không bằng 0.
  Tích của 5 phân số bằng 1.
  ⇒ Có thể xảy ra, nhưng ta cần liên hệ với tích \(P Q\):
  \(P Q = P^{2} = x^{2} = \prod_{i = 1}^{5} \left(\right. 1 - x_{i}^{2} \left.\right) .\)
  Nếu không có số nào bằng \(\pm 1\), thì mỗi \(1 - x_{i}^{2} \neq 0\). Vế phải khác 0, suy ra \(x \neq 0\).
  Nhưng khi đó \(x^{2} = \prod \left(\right. 1 - x_{i}^{2} \left.\right)\).
  Nghĩa là \(x\) chia hết cho tích \(\prod x_{i}\) (do đồng dư mod \(x_{i}\), lập luận chia hết)…
  Kết quả là hoặc \(x = 0\) hoặc một trong các \(x_{i} = 0\).
  ⇒ Trong cả hai trường hợp, \(x x_{1} x_{2} \hdots x_{5} = 0\).

---

Kết luận:

Dù xảy ra trường hợp nào thì ta luôn có:

\(x \cdot x_{1} x_{2} \hdots x_{5} = 0.\)