Question

[Trần Tiến Đạt]

3) Tìm số tự nhiên sao cho tổng: S = 1! + 2! + 3! + ... + n! là một số chính phương.

Answer 1

[Trần Thị Ngọc Hà]

Ta cần tìm số tự nhiên n sao cho:

S = 1! + 2! + 3! + ... + n! là số chính phương (tức là bình phương của một số tự nhiên).

Thử các giá trị nhỏ của n:

• n = 1: S = 1! = 1 → ✅ là số chính phương (1²)
• n = 2: S = 1! + 2! = 1 + 2 = 3 → ❌ không phải
• n = 3: S = 1 + 2 + 6 = 9 → ✅ là số chính phương (3²)
• n = 4: S = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 → ❌
• n = 5: S = 33 + 120 = 153 → ❌
• n = 6: S = 153 + 720 = 873 → ❌
• n = 7: S = 873 + 5040 = 5913 → ❌

✅ Kết luận:

Chỉ có n = 1 và n = 3 thì S là số chính phương.

Đáp án: n = 1 hoặc n = 3.

Answer 2

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

Olm chào em, Đây là toán nâng cao chuyên đề số chính phương, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay, Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này bằng phương pháp đánh giá như sau:

Giải:

S = 1! + 2! + 3! + ... + n!

Nếu n = 1 thì S = 1! = 1 = 1\(^2\)(nhận)

Nếu n = 2 thì S = 1! + 2! = 1+1.2= 3 (loại)

Nếu n = 3 thì

S = 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 3\(^2\)(nhận)

Nếu n = 4 thì:

S = 1! + 2! + 3! + 4!

S = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4

S = 1 + 2 + 6+ 24

S = 3 + 6 + 24

S = 9 + 24

S = 33 loại vì không phải là số chính phương.

Nếu n ≥ 5 ta có:

S = (1! + 2! + 3! + 4!) + 5! +...+ n!

S =33 + 1.2.3.4.5 +...+1.2.3.4.5...n

S = 3+5.6 +1.2.3.4.5 + ..+ 1.2.3.4.5...n

S chia 5 dư 3 mà số chính phương chia 5 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 4

Vậy n ≥ 5 thì S không phải là số chính phương với mọi n ≥ 5

Kết luận n ∈ {1; 3}