Question

[Pham Trong Bach]

Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a, $\stackrel{⏞}{ASB}=\stackrel{⏞}{BSC}=\stackrel{⏞}{CSA}=\alpha$. Gọi $\left(\beta \right)$ là mặt phẳng đi qua A và các trung điểm của SB, SC. Tính diện tích thiết diện S của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  $\left(\beta \right)$.

A.  $S=\frac{a^2}{2}\sqrt{7{\cos }^2\alpha -16\cos \alpha +9}$

B.  $S=\frac{a^2}{2}\sqrt{7{\cos }^2\alpha -6\cos \alpha +9}$

C.  $S=\frac{a^2}{8}\sqrt{7{\cos }^2\alpha -6\cos \alpha +9}$

D.  $S=\frac{a^2}{8}\sqrt{7{\cos }^2\alpha -16\cos \alpha +9}$

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án D.

Gọi B',C' là trung điểm SB,SC  ⇒ Thiết diện là Δ A B ' C '  

Ta có  S A ' B ' C ' = 1 2 A B ' 2 . A C ' 2 - A B '   → . A C '   → 2

A B '   → = 1 2 S B   → - S A   → ⇒ A B ' 2 = 1 4 S B 2 + S A 2 - S A   → . S B   → = a 2 4 5 - 4 cos   α

Tương tự ta có A B ' → . A C '   → = a 2 4 4 - 3 cos α  

Vậy S A B ' C ' = 1 2 a 4 16 5 - 4 cos α 2 - a 4 16 4 - 3 cos α 2 = a 2 8 7 cos 2 α - 16 cos α + 9