Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn a^2+b^2<=2.Chứng minh:
1/1+a^2 +1/1+b^2 <=2/1+ab
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PN
14 tháng 3 2017
\(2.\) Bạn nghiêm túc gửi câu hỏi nhé!. Mình có lời giải rồi
PP
1
DB
18 tháng 4 2017
ta co:
a-b=a^3+b^3
a-b-b^3=a^3
Mà một số luôn nhỏ hơn hoặc bằng chính nó lũy thừa 3
Nhưng a-b-b^3=a^3 nên b=0
Mà a=a^3 suy ra a=1
14 tháng 9
Từ giả thiết 𝑎 3 + 𝑏 3 = 𝑎 − 𝑏 a 3 +b 3 =a−b và 𝑎 , 𝑏 > 0 a,b>0 suy ra 𝑎 − 𝑏 > 0 a−b>0, tức 𝑎 > 𝑏 a>b. Viết lại phương trình dưới dạng ( 𝑎 3 − 𝑎 ) + ( 𝑏 3 + 𝑏 ) = 0 ⟹ 𝑎 ( 𝑎 2 − 1 ) + 𝑏 ( 𝑏 2 + 1 ) = 0. (a 3 −a)+(b 3 +b)=0⟹a(a 2 −1)+b(b 2 +1)=0. Vì 𝑏 ( 𝑏 2 + 1 ) > 0 b(b 2 +1)>0 (do 𝑏 > 0 b>0), nên phải có 𝑎 ( 𝑎 2 − 1 ) < 0 a(a 2 −1)<0. Do 𝑎 > 0 a>0 nên 𝑎 2 − 1 < 0 a 2 −1<0, tức 𝑎 2 < 1 ⇒ 0 < 𝑎 < 1. a 2 <1⇒0<a<1. Từ phương trình ban đầu ta cũng có 𝑏 ( 𝑏 2 + 1 ) = 𝑎 − 𝑎 3 . b(b 2 +1)=a−a 3 . Vì 𝑏 2 + 1 > 1 b 2 +1>1 nên 𝑏 = 𝑎 − 𝑎 3 𝑏 2 + 1 < 𝑎 − 𝑎 3 . b= b 2 +1 a−a 3 <a−a 3 . Do đó 𝑎 + 𝑏 < 𝑎 + ( 𝑎 − 𝑎 3 ) = 2 𝑎 − 𝑎 3 . a+b<a+(a−a 3 )=2a−a 3 . Nhân hai vế với 𝑎 > 0 a>0 được 𝑎 ( 𝑎 + 𝑏 ) < 𝑎 ( 2 𝑎 − 𝑎 3 ) = 2 𝑎 2 − 𝑎 4 . a(a+b)<a(2a−a 3 )=2a 2 −a 4 . Xét hàm 𝑓 ( 𝑎 ) = 2 𝑎 2 − 𝑎 4 f(a)=2a 2 −a 4 trên khoảng 0 < 𝑎 < 1 0<a<1. Ta có 𝑓 ′ ( 𝑎 ) = 4 𝑎 − 4 𝑎 3 = 4 𝑎 ( 1 − 𝑎 2 ) > 0 (v ı ˋ 0 < 𝑎 < 1 ) , f ′ (a)=4a−4a 3 =4a(1−a 2 )>0(v ı ˋ 0<a<1), nên 𝑓 f tăng trên ( 0 , 1 ) (0,1) và do đó 𝑓 ( 𝑎 ) < 𝑓 ( 1 ) = 1 f(a)<f(1)=1. Kết hợp với bất đẳng thức trên suy ra 𝑎 ( 𝑎 + 𝑏 ) < 1. a(a+b)<1. Trở về mục tiêu, từ phân tích ban đầu (chia cả hai vế 𝑎 3 + 𝑏 3 = 𝑎 − 𝑏 a 3 +b 3 =a−b cho 𝑎 + 𝑏 a+b) 𝑎 2 − 𝑎 𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎 − 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 1 − 2 𝑏 𝑎 + 𝑏 , a 2 −ab+b 2 = a+b a−b =1− a+b 2b , nên 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑎 𝑏 = ( 𝑎 2 − 𝑎 𝑏 + 𝑏 2 ) + 2 𝑎 𝑏 = 1 − 2 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 2 𝑎 𝑏 . a 2 +b 2 +ab=(a 2 −ab+b 2 )+2ab=1− a+b 2b +2ab. Vì 𝑎 ( 𝑎 + 𝑏 ) < 1 a(a+b)<1 tương đương 𝑎 < 1 𝑎 + 𝑏 a< a+b 1 , suy ra 2 𝑎 𝑏 < 2 𝑏 𝑎 + 𝑏 2ab< a+b 2b . Do đó 1 − 2 𝑏 𝑎 + 𝑏 + 2 𝑎 𝑏 < 1 , 1− a+b 2b +2ab<1, tức 𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑎 𝑏 < 1 . a 2 +b 2 +ab<1 .
KN
3 tháng 6 2020
Ta có: \(a^2-ab+3b^2+1=\left(a^2-2ab+b^2\right)+ab+\left(b^2+1\right)+b^2\)
\(=\left(a-b\right)^2+ab+\left(b^2+1\right)+b^2\ge ab+2b+b^2\)
\(=b\left(a+b+2\right)\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{b\left(a+b+2\right)}}\)(1)
Tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{c\left(b+c+2\right)}}\)(2); \(\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+3a^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{a\left(c+a+2\right)}}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3) và sử dụng AM - GM kết hợp liên tục BĐT \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\), ta được:
\(P\le\frac{1}{\sqrt{b\left(a+b+2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{c\left(b+c+2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{a\left(c+a+2\right)}}\)
\(=\Sigma\frac{2}{\sqrt{4b\left(a+b+2\right)}}\)\(\le\Sigma\left(\frac{1}{4b}+\frac{1}{a+b+2}\right)\)(AM - GM)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\text{}\Sigma\left(\frac{1}{a+b+2}\right)\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\text{}\Sigma\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}\right)+\frac{1}{2}\right]\)
\(\le\frac{3}{4}+\text{}\left[\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\text{}\Sigma\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]\)
\(=\frac{3}{4}+\text{}\left[\frac{3}{8}+\text{}\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]\le\frac{3}{4}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
KN
3 tháng 6 2020
Dòng thứ 10 sửa lại cho mình là \(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\Sigma\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2}\right)\right]\)
Do olm có lỗi là mỗi lần bấm dấu ngoặc là số nó tự động nhảy ra ngoài
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\le\frac{2}{1+ab}\) (1)
<=> \(\frac{1+a^2+b^2+1}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\le\frac{2}{1+ab}\)
>=> \(\frac{4}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\le\frac{2}{1+ab}\)
<=> 2 ( 1 + ab) \(\le\)1 + a^2 + b^2 + a^2b^2
<=> a^2 b^2 -2ab + 1 \(\ge\)0
<=> (ab - 1 ) ^2 \(\ge\)0 đúng với mọi số thực dương a, b
vậy (1) đúng với mọi số thực dương a, b
Dấu "=" xảy ra <=> ab = 1 và a^2 + b^2 = 2 <=> a = b = 1