Question

[Khánh Linh Lê]

Cho tam giác ABC có góc B = 60 độ; AB= 2cm; BC= 5 cm.trên cạnh BC lấy điểm D sao hơn BA=BD.
a) CM tam giac ABD đều
b) gọi H là trung điểm của BD.CM AH vuông góc BD
c) tính độ dài AC
d) so sánh BAC với 90 độ

Answer 1

[Vũ Minh Tuấn]

a) Xét \(\Delta ABD\) có:

\(BA=BD\left(gt\right)\)

=> \(\Delta ABD\) cân tại \(B.\)

Mà \(\widehat{B}=60^0\left(gt\right)\)

=> \(\Delta ABD\) là tam giác đều.

b) Vì \(\Delta ABD\) là tam giác đều (cmt).

=> \(AB=AD\) (tính chất tam giác đều).

Xét 2 \(\Delta\) \(ABH\) và \(ADH\) có:

\(AB=AD\left(cmt\right)\)

\(BH=DH\) (vì H là trung điểm của \(BD\))

Cạnh AH chung

=> \(\Delta ABH=\Delta ADH\left(c-c-c\right)\)

=> \(\widehat{AHB}=\widehat{AHD}\) (2 góc tương ứng).

Ta có: \(\widehat{AHB}+\widehat{AHD}=180^0\) (vì 2 góc kề bù).

Mà \(\widehat{AHB}=\widehat{AHD}\left(cmt\right)\)

=> \(2.\widehat{AHB}=180^0\)

=> \(\widehat{AHB}=180^0:2\)

=> \(\widehat{AHB}=90^0.\)

=> \(\widehat{AHB}=\widehat{AHD}=90^0\)

=> \(AH\perp BD.\)

c) Vì \(\Delta ABD\) là tam giác đều (cmt).

=> \(AB=AD=BD\) (tính chất tam giác đều).

Mà \(AB=2\left(cm\right)\)

=> \(BD=2\left(cm\right).\)

Vì H là trung điểm của \(BD\left(gt\right)\)

=> \(BH=DH=\frac{1}{2}BD\) (tính chất trung điểm).

=> \(BH=DH=\frac{1}{2}.2=\frac{2}{2}=1\left(cm\right).\)

+ Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\left(cmt\right)\) có:

\(AH^2+BH^2=AB^2\) (định lí Py - ta - go).

=> \(AH^2+1^2=2^2\)

=> \(AH^2=2^2-1^2\)

=> \(AH^2=4-1\)

=> \(AH^2=3\)

=> \(AH=\sqrt{3}\left(cm\right)\) (vì \(AH>0\)).

Ta có: \(BH+CH=BC\)

=> \(1+CH=5\)

=> \(CH=5-1\)

=> \(CH=4\left(cm\right).\)

+ Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\left(cmt\right)\) có:

\(AC^2=AH^2+CH^2\) (định lí Py - ta - go).

=> \(AC^2=\left(\sqrt{3}\right)^2+4^2\)

=> \(AC^2=3+16\)

=> \(AC^2=19\)

=> \(AC=\sqrt{19}\left(cm\right)\) (vì \(AC>0\)).

d) Ta có:

\(AB^2+AC^2=2^2+\left(\sqrt{19}\right)^2\)

=> \(AB^2+AC^2=4+19\)

=> \(AB^2+AC^2=23\left(cm\right)\) (1).

Lại có:

\(BC^2=5^2\)

=> \(BC^2=25\left(cm\right)\) (2).

Từ (1) và (2) => \(AB^2+AC^2\ne BC^2\left(23cm\ne25cm\right).\)

=> \(\Delta ABC\) không phải là tam giác vuông.

=> \(\widehat{BAC}< 90^0\) (vì \(23cm< 25cm\)) (đpcm).

Chúc bạn học tốt!

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔABD có BA=BD(gt)

nên ΔBAD cân tại B(định nghĩa tam giác cân)

Ta có: ΔBAD cân tại B(cmt)

mà \(\widehat{ABD}=60^0\)(gt)

nên ΔBAD là tam giác đều(dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

b) Ta có: ΔBAD đều(cmt)

nên ΔBAD cân tại A

Xét ΔAHB và ΔAHD có

AB=AD(do ΔBAD cân tại A)

BH=DH(do H là trung điểm của BD)

AH là cạnh chung

Do đó: ΔAHB=ΔAHD(c-c-c)

⇒\(\widehat{AHB}=\widehat{AHD}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHD}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHD}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

⇒\(\widehat{AHD}=90^0\)

⇒AH⊥BD(đpcm)

c)Ta có: AB=BD=AD(do ΔABD đều)

mà AB=2cm(gt)

nên BD=2cm

Ta có: H là trung điểm của BD(gt)

nên \(BH=\frac{BD}{2}=\frac{2}{2}=1cm\)

Ta có: BH+HC=BC(do B,H,C thẳng hàng)

hay 1+HC=5

⇒HC=5-1=4cm

Áp dụng định lí pytago vào ΔAHB vuông tại H, ta được

\(AB^2=AH^2+BH^2\)

hay \(AH^2=AB^2-BH^2=2^2-1^2=3\)

⇒\(AH=\sqrt{3}cm\)

Ta có: AH⊥BD(cmt)

mà C∈DB

nên AH⊥HC

⇒ΔAHC vuông tại H

Áp dụng định lí pytago vào ΔAHC vuông tại H, ta được

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

hay \(AC^2=\left(\sqrt{3}\right)^2+4^2=3+16=19\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{19}cm\)