Câu hỏi của Nguyễn Thị Duyên Đ

Question

Cho tứ giác ADCB, 2 cạnh AD và BC cắt nhau tại E, 2 cạnh DC và AB cắt nhau tại F, kẻ tia phân giác của các góc CED và góc BFC, các tia này cắt nhau tại I. Chứng m...

Đoàn Hải Uyên · Accepted Answer

Để chứng minhTôi Tôi F=2B+D trong tứ giác ADCB với các điều kiện đã cho, ta sẽ sử dụng tính chất tổng các góc trong tam giác và góc ngoài của tam giác.

1. Phân tích các góc liên quan:

Tứ giác ADCB:
- Các góc tại các đỉnh: MỘT,D,C,B.
- Tổng các góc trong tứ giác là 36 0∘:MỘT+D+C+B=36 0∘.
Tại điểm E: AD và BC cắt nhau tại E, tạo thành các góc CE D và Một EU.
- CE D là một trong các góc mà tia phân giác EI đi qua.
- Trong tam giác ABE: Một EU+MỘT+B=18 0∘⟹Một EU=18 0∘−MỘT−B.
- CE DvàMột EU là hai góc đối đỉnh, nên CE D=Một EU.
- Do đó, CE D=18 0∘−MỘT−B.
Tại điểm F: DC và AB cắt nhau tại F, tạo thành các góc BFCvàD F A.
- BFC là một trong các góc mà tia phân giác FI đi qua.
- Trong tam giác BCF: BFC+B+BCF=18 0∘.
- Trong tam giác ADF: Một F D+MỘT+D=18 0∘⟹Một F D=18 0∘−MỘT−D.
- BFCvàMột F Dlà hai góc đối đỉnh, nênBFC=Một F D.
- Do đó,BFC=18 0∘−MỘT−D.
Các tia phân giác:
- EI là tia phân giác của CE D⟹CÁI GÌ TÔI=CỦA=2CE D.
- FI là tia phân giác của BFC⟹Anh tôi=CF Tôi=2BFC.

2. Xét tam giác EIF:

Tổng các góc trong tam giác EIF là 18 0∘: Tôi Tôi F+Tôi+EF Tôi=18 0∘

Tôi=CỦA=2CE D
EF Tôi=CF Tôi=2BFC

Thay các giá trị đã tìm được của CE DvàBFC vào: Tôi=218 0∘−MỘT−B=9 0∘−2MỘT−2B EF Tôi=218 0∘−MỘT−D=9 0∘−2MỘT−2D

Thay vào phương trình của tam giác EIF: Tôi Tôi F+( 9 0∘−2MỘT−2B)+( 9 0∘−2MỘT−2D)=18 0∘ Tôi Tôi F+18 0∘−MỘT−2B−2D=18 0∘

Trừ 18 0∘ từ cả hai vế: Tôi Tôi F−MỘT−2B−2D=0

Chuyển các hạng tử sang vế phải: Tôi Tôi F=MỘT+2B+2D

Đây là một cách để biểu diễn Tôi Tôi F. Tuy nhiên, chúng ta cần chứng minh nó bằng 2B+D. Có vẻ như có một sai sót trong phép tính của tôi hoặc đề bài có thể có một góc nhìn khác.

Hãy thử lại bằng cách sử dụng góc ngoài của tam giác.

Cách 2: Sử dụng góc ngoài của tam giác

Xét tứ giác ADCB. Ta có tổng các góc trong tứ giác: MỘT+B+C+D=36 0∘.

Trong tam giác ABE: Góc THÁNG MƯỜI HAI là góc ngoài của tam giác ABE tại đỉnh E. THÁNG MƯỜI HAI=MỘT+B (Đây là sai, THÁNG MƯỜI HAI là góc kề bù với Một EU, còn Một EU là góc trong tam giác ABE). Góc ngoài của tam giác là tổng hai góc trong không kề với nó. THÁNG MƯỜI HAI=MỘT+B (nếu THÁNG MƯỜI HAI là góc ngoài của tam giác BEC tại E, thì đó là EBC+Ngân hàng Trung ương Châu Âu) Đây là điểm thường gây nhầm lẫn.

Hãy quay lại cách 1 và kiểm tra lại cẩn thận. CE D=18 0∘−MỘT−B(LÀMCE D đối đỉnh với Một EU, và Một EU=18 0∘−MỘT−B trong tam giác ABE). Đây là đúng. BFC=18 0∘−MỘT−D(LÀMBFCđối đỉnh vớiMột F D, vàMột F D=18 0∘−MỘT−D trong tam giác AFD). Đây là đúng.

Trong △ E I F: Tôi Tôi F=18 0∘−Tôi−EF Tôi Tôi Tôi F=18 0∘−2CE D−2BFC Tôi Tôi F=18 0∘−218 0∘−MỘT−B−218 0∘−MỘT−D Tôi Tôi F=18 0∘−( 9 0∘−2MỘT−2B)−( 9 0∘−2MỘT−2D) Tôi Tôi F=18 0∘−9 0∘+2MỘT+2B−9 0∘+2MỘT+2D Tôi Tôi F=( 18 0∘−9 0∘−9 0∘)+(2MỘT+2MỘT)+2B+2D Tôi Tôi F=0+MỘT+2B+2D Tôi Tôi F=MỘT+2B+D

Kết quả này cho thấy Tôi Tôi F=MỘT+2B+D, không phải 2B+D. Có thể có một nhầm lẫn trong đề bài hoặc là một tứ giác đặc biệt hơn.

Kiểm tra lại đề bài và hình vẽ: Tứ giác ADCB. AD và BC cắt nhau tại E. (Tức là E là giao điểm của các đường thẳng chứa cạnh AD và BC) DC và AB cắt nhau tại F. (Tức là F là giao điểm của các đường thẳng chứa cạnh DC và AB) Kẻ tia phân giác của các góc CED và góc BFC. Các tia này cắt nhau tại I.

Hãy xem xét lại bằng cách sử dụng góc ngoài cho các tam giác có chứa I.

Xét tam giác EIF: Tôi Tôi F=18 0∘−Tôi EF−TÔI CẢM THẤY

Tôi EF=21CE D
TÔI CẢM THẤY=21BFC

Ta biết: CE D là góc ngoài của tam giác ABD (nếu E nằm ngoài AB). CE D là góc ngoài của tam giác EDC (nếu E nằm trên đường thẳng CD).

Hãy sử dụng tổng các góc trong các tam giác lớn hơn.

Xét tứ giác ABCD: MỘT+B+C+D=36 0∘

Xét tam giác ABE: Một EU+MỘT+B=18 0∘ Một EU=18 0∘−MỘT−B Vì CE Dđối đỉnh vớiMột EU nên CE D=18 0∘−MỘT−B.

Xét tam giác BCF: BFC+FBC+FCB=18 0∘ BFC=18 0∘−B−Trước Công Nguyên (Trong trường hợp F nằm trên tia đối của AB, thì BFC là góc ngoài của tam giác ADF tại F, thì BFC=MỘT+D) Hãy vẽ hình minh họa để rõ ràng hơn.

Hình vẽ thông thường cho tứ giác lồi ADCB: E nằm ngoài tứ giác (giao điểm của AD và BC) F nằm ngoài tứ giác (giao điểm của DC và AB)

      A-------B
     /         \
    D-----------C
   / \         / \
  E---F-------I

Hình vẽ này không đúng theo mô tả. E là giao điểm của AD và BC. F là giao điểm của DC và AB.

      A
     / \
    /   \
   D-----C
   |     |
   |     |
   B-----?

Hãy vẽ lại cẩn thận:

        A
       / \
      /   \
     F-----B
     | \ / |
     |  X  |
     | / \ |
     D-----C
      \   /
       \ /
        E

Trong hình này:

AD và BC cắt nhau tại E.
DC và AB cắt nhau tại F.

Các góc tại E: Trong tam giác CDE: CE D+D C.E.+C D E=18 0∘. D C.E. là C của tứ giác. C D ElàD của tứ giác. Không đúng. D C.E. là một phần của góc C của tứ giác, và C D Elà một phần của gócD của tứ giác.

Hãy sử dụng định lý tổng các góc trong tam giác và góc ngoài.

1. Góc tại E (CE D): Xét tam giác EAB. Góc CE D là góc đối đỉnh với Một EU. Một EU=18 0∘−MỘT−B (trong △ MỘT BE) Vậy CE D=18 0∘−MỘT−B.

2. Góc tại F (BFC): Xét tam giác FAD. Góc BFClà góc đối đỉnh vớiMột F D. Một F D=18 0∘−MỘT−D(trong△ A D F) VậyBFC=18 0∘−MỘT−D.

3. Trong tam giác EIF: Ta có Tôi Tôi F=18 0∘−(Tôi EP+TÔI CẢM THẤY). Với EI là phân giác của CE D:Tôi EP=21CE D=21( 18 0...

Câu trả lời: