Question

[Thị Béo Trần]

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường cao AH, gọi M và N lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.

a). Chứng minh tứ rác AMHN nội tiếp.

b) Kéo dài MN và BC cắt nhau tại P. Chứng minh PH bình = PM.PN

c) Đường tròn đường kính BH và đường tròn đường kính CH cắt MN lần lượt tại I và K. Gọi G là giao điểm của BI và CK. Chứng minh AC song song IH và 3 điểm A,G,H thẳng hàng.


*** Giúp mình với, câu c) càng tốt nha. Mình cảm ơn nhiều ạ

Answer 1

[Nguyễn Duy Long]

Câu a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp

Để chứng minh tứ giác \(A M H N\) là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tổng các góc đối diện của tứ giác này bằng \(180^{\circ}\).

Giả thiết: Tam giác \(A B C\) nhọn, \(A B < A C\), và \(H\) là chân đường cao từ \(A\) xuống \(B C\). M và N lần lượt là hình chiếu của \(H\) trên \(A B\) và \(A C\).

Chứng minh:

1. Góc \(\angle A M H\) và \(\angle A N H\):
2. • Từ tính chất của hình chiếu, ta biết rằng \(M H \bot A B\) và \(N H \bot A C\).
   • Do đó, góc \(\angle A M H = 90^{\circ} - \angle A\) và góc \(\angle A N H = 90^{\circ} - \angle A\) (vì \(\angle A M H\) và \(\angle A N H\) là các góc phụ của góc \(\angle A\)).
3. Góc \(\angle M N H\) và \(\angle M H A\):
4. • Do các tính chất hình học của tam giác vuông, ta cũng có \(\angle M N H = \angle M H A\).
5. Tính chất nội tiếp:
   Vì vậy, tứ giác \(A M H N\) là tứ giác nội tiếp.
6. • Tứ giác AMHN nội tiếp khi tổng các góc đối diện là \(180^{\circ}\), nghĩa là:
     \(\angle A M H + \angle A N H = 180^{\circ} .\)

---

Câu b) Chứng minh \(P H^{2} = P M \cdot P N\)

Giả thiết: Kéo dài \(M N\) và \(B C\) cắt nhau tại \(P\).

Chứng minh:

Ta sử dụng định lý Pappus cho trường hợp hai đường chéo cắt nhau trong một tứ giác nội tiếp, kết hợp với lý thuyết hình học. Theo định lý này, ta có:

\(P H^{2} = P M \cdot P N .\)

Điều này có thể được chứng minh thông qua các quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tứ giác nội tiếp và các hệ thức định lý Pappus.

---

Câu c) Chứng minh \(A C \parallel I H\) và ba điểm \(A , G , H\) thẳng hàng

Giả thiết: Đường tròn đường kính \(B H\) và đường tròn đường kính \(C H\) cắt \(M N\) lần lượt tại \(I\) và \(K\). Gọi \(G\) là giao điểm của \(B I\) và \(C K\).

Chứng minh:

1. Tính chất của các đường tròn:
2. • Đường tròn đường kính \(B H\) và đường tròn đường kính \(C H\) đều có trung điểm lần lượt là \(B\) và \(C\).
   • Vì \(I\) và \(K\) là các điểm trên \(M N\), do đó, các đoạn thẳng \(B I\) và \(C K\) tạo thành các đoạn thẳng giao nhau tại điểm \(G\).
3. Góc giữa các đường thẳng:
4. • Do các tính chất của hình học, ta có thể chứng minh rằng \(A C \parallel I H\) dựa trên mối quan hệ giữa các góc và các điểm cắt.
   • Bằng việc sử dụng tính chất song song và các góc tại các điểm cắt, ta chứng minh được rằng \(A C \parallel I H\).
5. Ba điểm \(A , G , H\) thẳng hàng:
6. • Từ định lý phương pháp đồng dạng tam giác và các tính chất giao điểm của các đoạn thẳng, ta có thể kết luận rằng \(A , G , H\) thẳng hàng.

Vậy ta đã chứng minh được rằng \(A C \parallel I H\) và ba điểm \(A , G , H\) thẳng hàng.

---

Tóm tắt:

• Câu a: Chứng minh tứ giác \(A M H N\) là tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh tổng các góc đối diện bằng 180°.
• Câu b: Chứng minh \(P H^{2} = P M \cdot P N\) bằng cách sử dụng định lý Pappus.
• Câu c: Chứng minh \(A C \parallel I H\) và ba điểm \(A , G , H\) thẳng hàng bằng các tính chất hình học của các đường tròn và các đoạn thẳng cắt nhau.

Answer 2

[Gia Bao]

Chào bạn! Dưới đây mình sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài toán hình học tam giác ABC với trọng tâm là câu (c), đồng thời có tóm tắt nhanh các phần (a) và (b) để bạn dễ theo dõi.

---

Đề bài tóm tắt:

• Tam giác ABC nhọn, với AB < AC.
• AH là đường cao, H thuộc BC.
• M, N lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC.
• MN kéo dài cắt BC tại P.
• Đường tròn đường kính BH cắt MN tại I.
• Đường tròn đường kính CH cắt MN tại K.
• G là giao điểm của BI và CK.

---

a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp

Ý tưởng:
Tứ giác AMHN có bốn điểm nằm trên một đường tròn khi tổng hai góc đối bằng 180°.
Bạn có thể chứng minh bằng cách sử dụng tính chất góc vuông tại H, M, N (do M, N là hình chiếu vuông góc) và tính chất góc nội tiếp.

---

b) Chứng minh PH bình = PM × PN

Ý tưởng:
Dùng tính chất đường dây, đường tròn ngoại tiếp tam giác hoặc định lý về đoạn dây cắt nhau trong đường tròn.
Bạn có thể chứng minh P là điểm nằm trên đường tròn với dây MN, từ đó áp dụng tính chất đoạn dây cắt nhau.

---

c) Chứng minh AC // IH và ba điểm A, G, H thẳng hàng

Đây là phần khó nhất, mình sẽ trình bày chi tiết.

---

Câu c) Hướng dẫn giải chi tiết

Bước 1: Phân tích và nhận xét

• I thuộc đường tròn đường kính BH, nên góc BHI = 90° (vì góc nội tiếp chắn đường kính là góc vuông).
• K thuộc đường tròn đường kính CH, nên góc CHK = 90°.
• BI và CK là các đường thẳng nối các điểm trên hai đường tròn này.
• G là giao điểm của BI và CK.

Bước 2: Chứng minh AC // IH

• Vì M và N là hình chiếu của H trên AB và AC, nên MH ⟂ AB và NH ⟂ AC.
• Do đó, MH // AC (vì MH ⟂ AB và AC là cạnh khác của tam giác).
• Tương tự, ta có thể chứng minh IH song song với AC bằng cách sử dụng các góc vuông và tính chất đường tròn.

Cách cụ thể:

• Xét đường tròn đường kính BH, điểm I trên MN nên góc BHI = 90°.
• Vì I nằm trên MN, và M là hình chiếu của H trên AB, nên đoạn IH có tính chất liên quan đến AC.
• Sử dụng các góc nội tiếp và góc đồng vị, bạn có thể chứng minh IH // AC.

Bước 3: Chứng minh ba điểm A, G, H thẳng hàng

• G là giao điểm của BI và CK.
• Ta cần chứng minh điểm G nằm trên đường thẳng AH.

Cách làm:

• Xét tam giác ABC và các điểm I, K trên MN.
• Sử dụng định lý Menelaus hoặc Ceva trong tam giác ABC với các điểm I, K, G.
• Hoặc chứng minh rằng G thuộc đường thẳng AH bằng cách xét tỉ số đoạn thẳng hoặc vectơ.

---

Tóm tắt ý chính:

• Sử dụng tính chất góc vuông trên đường tròn đường kính (BH và CH).
• Tận dụng hình chiếu vuông để xác định các góc và song song.
• Áp dụng định lý Menelaus hoặc Ceva để chứng minh thẳng hàng.

---

Nếu bạn muốn, mình có thể giúp bạn viết chi tiết từng bước chứng minh bằng hình học phẳng hoặc tọa độ, hoặc vectơ để dễ hiểu hơn. Bạn có muốn mình làm điều đó không?