Câu hỏi của huyhòng

Question

Bài tập: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB
chứng minh BE là đường tru...

Ngô Thiện Nhân · Accepted Answer

Chứng minh:

Để chứng minh BE là đường trung trực của AH, ta cần chứng minh hai điều sau:

Bước 1: Chứng minh EA = EH

Xét tam giác ABH có HB = BA (theo giả thiết). Suy ra tam giác ABH là tam giác cân tại B.
Trong tam giác cân ABH, đường phân giác của góc ở đỉnh B đồng thời là đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh đáy AH. Gọi giao điểm của BE và AH là điểm I. Khi đó, BI là đường phân giác của ∠ABH.
Xét tam giác ABE và tam giác HBE:
- Cạnh BE chung.
- BA = BH (theo giả thiết).
- ∠ABE=∠HBE (vì BE là tia phân giác của ∠ABH).
Vậy △ABE=△HBE (theo trường hợp cạnh - góc - cạnh).
Từ sự bằng nhau của hai tam giác, ta suy ra EA = EH (hai cạnh tương ứng). Điều này chứng tỏ điểm E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AH.

Bước 2: Chứng minh BE vuông góc với AH

Vì △ABE=△HBE (đã chứng minh ở Bước 1), nên các góc tương ứng cũng bằng nhau. Ta có ∠BEA=∠BEH.
Xét tam giác AHI có I là giao điểm của BE và AH. Xét tam giác AIE và tam giác HIE:
- Cạnh EI chung.
- EA = EH (chứng minh ở Bước 1).
- ∠AEI=∠HEI (vì ∠BEA=∠BEH).
Vậy △AIE=△HIE (theo trường hợp cạnh - góc - cạnh).
Từ sự bằng nhau của hai tam giác, ta suy ra ∠AIE=∠HIE (hai góc tương ứng).
Mà ∠AIE và ∠HIE là hai góc kề bù, nên ∠AIE+∠HIE=180∘.
Do ∠AIE=∠HIE, suy ra 2⋅∠AIE=180∘, hay ∠AIE=90∘.
Vậy BE vuông góc với AH tại điểm I.

Kết luận:

Vì điểm E cách đều hai điểm A và H (EA = EH) và đường thẳng BE vuông góc với đoạn thẳng AH tại I, nên BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.

Câu trả lời:

Chứng minh:

Để chứng minh BE là đường trung trực của AH, ta cần chứng minh hai điều sau:

Bước 1: Chứng minh EA = EH

Xét tam giác ABH có HB = BA (theo giả thiết). Suy ra tam giác ABH là tam giác cân tại B.
Trong tam giác cân ABH, đường phân giác của góc ở đỉnh B đồng thời là đường trung tuyến và đường cao ứng với cạnh đáy AH. Gọi giao điểm của BE và AH là điểm I. Khi đó, BI là đường phân giác của ∠ABH.
Xét tam giác ABE và tam giác HBE:
- Cạnh BE chung.
- BA = BH (theo giả thiết).
- ∠ABE=∠HBE (vì BE là tia phân giác của ∠ABH).
Vậy △ABE=△HBE (theo trường hợp cạnh - góc - cạnh).
Từ sự bằng nhau của hai tam giác, ta suy ra EA = EH (hai cạnh tương ứng). Điều này chứng tỏ điểm E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AH.

Bước 2: Chứng minh BE vuông góc với AH

Vì △ABE=△HBE (đã chứng minh ở Bước 1), nên các góc tương ứng cũng bằng nhau. Ta có ∠BEA=∠BEH.
Xét tam giác AHI có I là giao điểm của BE và AH. Xét tam giác AIE và tam giác HIE:
- Cạnh EI chung.
- EA = EH (chứng minh ở Bước 1).
- ∠AEI=∠HEI (vì ∠BEA=∠BEH).
Vậy △AIE=△HIE (theo trường hợp cạnh - góc - cạnh).
Từ sự bằng nhau của hai tam giác, ta suy ra ∠AIE=∠HIE (hai góc tương ứng).
Mà ∠AIE và ∠HIE là hai góc kề bù, nên ∠AIE+∠HIE=180∘.
Do ∠AIE=∠HIE, suy ra 2⋅∠AIE=180∘, hay ∠AIE=90∘.
Vậy BE vuông góc với AH tại điểm I.

Kết luận:

Vì điểm E cách đều hai điểm A và H (EA = EH) và đường thẳng BE vuông góc với đoạn thẳng AH tại I, nên BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Answer

Xét ΔBAE vuông tại A và ΔBHE vuông tại H có

BE chung

BA=BH

Do đó: ΔBAE=ΔBHE

=>EA=EH

=>E nằm trên đường trung trực của AH(1)

Ta có: BA=BH

=>B nằm trên đường trung trực của AH(2)

từ (1),(2) suy ra BE là đường trung trực của AH