Question

[Nguyễn Quang Minh]

CMR với mọi số tự nhiên n thì phân số n^3 + 2n / n^4 + 3n^2 + 1

Answer 1

[Nguyễn Việt Hoàn]

Để chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\), phân số \(\frac{n^{3} + 2 n}{n^{4} + 3 n^{2} + 1}\) là một phân số tối giản, ta có thể làm như sau:

1. Giả sử phân số \(\frac{n^{3} + 2 n}{n^{4} + 3 n^{2} + 1}\) không tối giản, tức là tử số và mẫu số có một ước chung \(d > 1\).
2. Khi đó, \(d\) phải chia hết cả tử số \(n^{3} + 2 n\) và mẫu số \(n^{4} + 3 n^{2} + 1\).
3. Xét tử số:

\(n^{3} + 2 n = n \left(\right. n^{2} + 2 \left.\right)\)

Vì \(d\) chia hết \(n^{3} + 2 n\), nên \(d\) phải chia hết \(n\) hoặc \(n^{2} + 2\).

1. Xét mẫu số:

\(n^{4} + 3 n^{2} + 1 = \left(\right. n^{2} + 1 \left.\right)^{2} + n^{2}\)

Nếu \(d\) chia hết \(n\), thì từ mẫu số \(n^{4} + 3 n^{2} + 1\), ta thấy \(d\) phải chia hết 1, điều này mâu thuẫn với \(d > 1\).

1. Nếu \(d\) chia hết \(n^{2} + 2\):
2. • Từ tử số, \(d\) chia hết \(n^{2} + 2\).
   • Từ mẫu số, \(d\) chia hết \(n^{4} + 3 n^{2} + 1\).
   • Ta có thể biểu diễn mẫu số theo \(n^{2} + 2\):

\(n^{4} + 3 n^{2} + 1 = \left(\right. n^{2} + 2 \left.\right)^{2} - \left(\right. n^{2} + 3 \left.\right)\)

ruby



 Vì $ d $ chia hết $ n^2 + 2 $, nên $ d $ cũng phải chia hết $ n^2 + 3 $. Tuy nhiên, $ n^2 + 3 $ và $ n^2 + 2 $ chỉ khác nhau 1 đơn vị, nên $ d $ chỉ có thể là 1, mâu thuẫn với $ d > 1 $.  

6. Kết luận:

• Không tồn tại ước chung \(d > 1\) của tử số và mẫu số.
• Do đó, phân số \(\frac{n^{3} + 2 n}{n^{4} + 3 n^{2} + 1}\) là tối giản với mọi số tự nhiên \(n\).

\(\boxed{\text{Ph}\hat{\text{a}}\text{n s}\overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}\text{ }\frac{n^{3} + 2 n}{n^{4} + 3 n^{2} + 1}\text{ l}\overset{ˋ}{\text{a}}\text{ t}\overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}\text{i gi}ả\text{n v}ớ\text{i m}ọ\text{i s}\overset{ˊ}{\hat{\text{o}}}\text{ t}ự\text{ nhi}\hat{\text{e}}\text{n }n.}\)