Question

[Long]

cho nửa đường tròn đường kính AB.qua Cthuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d với nửa đường tròn. từ điểm A và B kẻ các đường thẳng vuông góc với d và cắt d lần lượt tại m và n. từ C kẻ ch vuông góc với ab tại h. cho a,b cố định, chứng minh rằng CH^2=AB.BH và xác định vị trí của c trên nửa đường tròn o để AM.BN đạt giá trị lớn nhất

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

(Đề bài phải sửa thành c/m \(CH^2=AH.BH\) )

Xét tg vuông AHC có

\(CH^2=AC^2-AH^2\) (Pitago) (1)

Xét tg vuông BCH có

\(CH^2=BC^2-BH^2\) (Pitago) (2)

Cộng 2 vế của (1) và (2)

\(\rArr2CH^2=AC^2+BC^2-\left(AH^2+BH^2\right)\)

\(\lrArr2CH^2=AC^2+BC^2-\left(AH+BH\right)^2+2AH.BH\)

\(\lrArr2CH^2=AC^2+BC^2-AB^2+2AH.BH\)

Xét tg ACB có

\(\hat{ACB}=90^{o}\) (Góc nt chắn nửa đường tròn)

\(\rArr AC^2+BC^2=AB^2\) (Pitago)

\(\rArr2CH^2=2AH.BH\)

\(\rArr CH^2=AH.BH\)

Ta có

AM⊥d (gt); OC⊥d (gt); BN⊥d (gt) => AM//OC//BN

\(\rArr\frac{CM}{CN}=\frac{OA}{OB}=1\rArr CM=CN\)

=> OC là đường trung bình của hình thang AMNB

\(\rArr OC=\frac{AM+BN}{2}\rArr AM+BN=2OC\) Không đổi

=> AM.BN lớn nhất khi AM=BN

Khi đó tứ giác AMNB có

AM//BN (cmt); AM=BN => AMNB là hbh (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

Mà AM⊥d (gt)

=> AMNB là HCN => AM⊥AB; mà AM//OC => OC⊥OB

=> sđ \(\overgroup{AC}\) = sđ\(\overgroup{BC}\) (Trong hình tròn đường kính vuông góc với dây cung thì chia đôi cung bị chắn)

=> AM.BN đặt giá trị lớn nhất khi C là điểm giữa của cung AB