CM bất đẳng thức nếu a,b,c là cạnh của 1 tam giác
\(\left(a+b+c\right)^3>8abc\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
YY
28 tháng 5 2018
3 cạnh của một tam giác là ba số dương
áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số dương
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}=8abc\)\
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
mà a,b,c là 3 cạnh của một tam giác đều => a=b=c => (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
LH
28 tháng 5 2018
a,b,c là 3 cạnh tam giác nên a>0,b>0,c>0
\(\Leftrightarrow a^2b+abc+a^2c+ac^2+ab^2+b^2c+abc+bc^2=8abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+bc^2+ab^2+ac^2+a^2c+ac^2-6abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+bc^2-2abc\right)+\left(ab^2+ac^2-2abc\right)+\left(a^2c+b^2c-2abc\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a^2-2ac+c^2\right)+a\left(b^2-2bc+c^2\right)+c\left(a^2-2ab+b^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow b\left(a-c\right)^2+a\left(b-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2=0\)
Mà b>0;(a-c)^2>=0 => b(a-c)^2>=0;
a>0;(b-c)^2>=0 => a(b-c)^2 >=0;
c>0;(a-b)^2>=0 => c(a-b)^2>=0
Do đó: \(b\left(a-c\right)^2+a\left(b-c\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}a-c=0\\b-c=0\\a-b=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=c\\b=c\\a=b\end{cases}}}\Leftrightarrow a=b=c\)
=> a,b,c là 3 cạnh của một tam giác đều
NQ
2
21 tháng 7 2020
Theo mình đề chứng minh: \(3Min\left\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right\}\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
NT
30 tháng 12 2017
Áp dụng BĐT Cosi ; ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\\ b+c\ge2\sqrt{bc}\\ a+c\ge2\sqrt{ca}\\ \Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
=> Tam giác ABC đều
30 tháng 12 2017
Vì a; b; c là độ dài 3 cạnh tam giác.
=> a > 0
b > 0
c > 0
Áp dụng BĐT Cô - si ta có:
Cho a và b ta được: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Cho b và c ta được: \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
Cho c và a ta được: \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Nhân theo vế ta được: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dấu "=" xảy ra khi: <=> a = c = d
=> a; b; c là tam giác đều.
MA
3 tháng 4 2016
ta sử dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)(cái này bạn có thể dễ dàng chúng minh )
ta có
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\frac{4}{c}\)(1)
tương tự ta có
\(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\) (2)
\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)(3)
cộng theo vế của bđt (1);(2);(3) ta có
\(2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
hay \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
21 tháng 7 2015
a;b;c là 3 cạnh của tam giác => a; b; c dương
Với a; b dương ta có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) => a + b \(\ge\) 2. \(\sqrt{ab}\)
Tương tự, b + c \(\ge\) 2.\(\sqrt{bc}\); c + a \(\ge\)2. \(\sqrt{ca}\)
=> (a + b).(b+c).(c+a) \(\ge\)8. \(\sqrt{ab}\).\(\sqrt{bc}\).\(\sqrt{ca}\) = 8.abc
Dấu = xảy ra khi a = b = c
=> tam giác có 3 cạnh là a; b; c là tam giác đều
bạn phân tích (a+b+c)^3 ra rồi trừ đi 8abc
Áp dụng bất đẳng thức tam giác là ra (a+b+c)^3 -8abc luôn > o
Làm cách đó hơi dài
Áp dụng BĐT tam giác ta có
\(\hept{\begin{cases}a+b>c\\b+c>a\\c+a>b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c>2c\\a+b+c>2a\\a+b+c>2c\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3>8abc\)