Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(A=\frac{a^2}{a-1}+\frac{b^2}{b-1}\)với\(a>1,b>1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
22 tháng 9 2017
a) ta có \(S=a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}+\frac{3}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có \(a+\frac{1}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a.1}{4a}}=2.\frac{1}{2}=1\)
tương tự ta có \(b+\frac{1}{4b}\ge1;c+\frac{1}{4c}\ge1\)
=> \(a+\frac{1}{4a}+b+\frac{1}{4b}+c+\frac{1}{4c}\ge3\)
mặt khác Áp dụng bất đẳng thức svác sơ ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\ge\frac{9}{\frac{3}{2}}=6\) (vì a+b+c<=3/2)
cộng từng vế ta có \(S\ge9\)
dấu = xảy ra <=> a=b=c=1/2
câu 2 tương tự
VT
22 tháng 9 2017
chết quên khi mà cậu dùng svác sơ xong thì cậu phải nhân thêm 3/4 nữa rồi mới cộng vào để tính Smin
HA
0
30 tháng 7 2016
A= \(\left(\frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}}\right):\frac{a+2}{a-2}\)
đkxđ: a>0 và a khác 1
A= \(\left[\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a+1}\right)}\right]:\frac{a+2}{a-2}\)
=\(\left(\frac{a+\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}-\frac{a-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\right).\frac{a-2}{a+2}\)
=\(\frac{2.\left(a-2\right)}{a+2}\)
A= \(2-\frac{8}{a+2}\)
muôn A nhỏ nhất thì a+2 nhỏ nhất mà a>0 và a khác 1
=> a=2
=> GTNN A=0 khi a=2
KL
30 tháng 7 2016
a) ĐKXĐ \(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}\sqrt{a}\ge0\\\sqrt{a}-1\ne0\\\sqrt{a}\ne0\\a-2\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}a\ge0\\a\ne0\\a\ne1\\a\ne2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a>0\\a\ne1\\a\ne2\end{cases}\)
b)\(A=\left[\frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(a+\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}\right].\frac{a-2}{a+2}\)
\(=\left(\frac{a+\sqrt{a}+1-a+\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}\right).\frac{a-2}{a+2}=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}}\cdot\frac{a-2}{a+2}=\frac{2a-4}{a+2}\)
c)\(A=\frac{2a-4}{a+2}=\frac{2\left(a+2\right)-8}{a+2}=2-\frac{8}{a+2}\)
A đạt GTNN khi và chỉ khi \(\frac{8}{a+2}\) đạt GTLN khi và chỉ khi a+2 đạt giá trị nhỏ nhất
Mà min a+2 là 2 khi a=0 suy ra Min A\(=2-\frac{8}{2}=-2\)
Vậy Min A là -2 khi a=0
1 tháng 9 2018
\(B=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}=\frac{a+b}{ab}+\frac{2}{a+b}\)
\(=a+b+\frac{2}{a+b}=a+b+\frac{4}{a+b}-\frac{2}{a+b}\)
\(\ge2\sqrt{\left(a+b\right).\frac{4}{a+b}}-\frac{2}{2\sqrt{ab}}=2\sqrt{4}-1=3\)(AM-GM)
Nên GTNN của B là 3 khi a=b=1
NT
2
26 tháng 3 2021
Ta có:
\(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}.\frac{b^2}{a-1}}\)
\(=2.\frac{a}{\sqrt{a-1}}.\frac{b}{\sqrt{b-1}}\)
Vì \(\frac{a}{\sqrt{a-1}}\ge2;\frac{b}{\sqrt{b-1}}\ge2\Rightarrow A\ge8\)
=> min A=8 <=> a=b=2
26 tháng 3 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)
Đặt a + b - 2 = x => x > 0
Khi đó \(A\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}=\frac{\left(x+2\right)^2}{x}=\frac{x^2+4x+4}{x}=\left(x+\frac{4}{x}\right)+4\ge2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}+4=8\)( AM-GM )
Đẳng thức xảy ra <=> x = 2 => a=b=2
Vậy MinA = 8 <=> a=b=2
Đặt \(a-1=x>0,b-1=y>0\), ta có
\(A=\frac{\left(x+1\right)^2}{x}+\frac{\left(y+1^2\right)}{y}=\frac{x^2+2x+1}{x}+\frac{y^2+2y+1}{y}\)
\(=\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(y+\frac{1}{y}\right)+4\)
Với \(x>0,y>0\)ta có \(x+\frac{1}{x}\ge2,y+\frac{1}{y}\ge2\)nên \(A\ge8\)
\(Min_A=8\Leftrightarrow x=y=1\Leftrightarrow a=b=2\)
P/s tham khảo nha
Sử dụng \(AM-GM\)ta có :
\(\frac{a^2}{a-1}+4\left(a-1\right)\ge2\sqrt{\left(2a\right)^2}=4a\)
Tương tự : \(\frac{b^2}{b-1}+4\left(b-1\right)\ge4b\)
Cộng theo vế : \(A+4\left(a+b\right)-8\ge4\left(a+b\right)\)
\(< =>A\ge8\)
Dấu = xảy ra \(< =>a=b=2\)