Chứng minh với mọi a,b>0 thì \(\frac{2ab}{a+b}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\sqrt{ab}+\frac{a+b}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 6 2019
a/
\(=\frac{a+b}{b^2}.\frac{\left|a\right|.b^2}{\left|a+b\right|}=\frac{\left(a+b\right).b^2.\left|a\right|}{b^2\left(a+b\right)}=\left|a\right|\)
b/
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}+\frac{4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)
\(=\frac{4\sqrt{ab}+4b}{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}=\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\)
11 tháng 5 2017
Bài 2:
\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b
tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11
VL
2
3 tháng 9 2018
Áp dụng BĐT cô-si, ta được:
\(\hept{\begin{cases}\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{a}\\\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{b}\end{cases}}\)
=> \(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
=> \(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\) (đpcm)
Vậy....
L
26 tháng 11 2020
Biến đổi tương đương ta được :
\(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\frac{\sqrt{a}^3+\sqrt{b}^3}{\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)}{\sqrt{ab}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}\le a-\sqrt{ab}+b\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)( đúng với đk )
14 tháng 12 2016
\(\frac{\left(a+b\right).2}{\sqrt{a.4.\left(3a+b\right)}+\sqrt{b.4.\left(3b+a\right)}}\)\(\ge\)\(\frac{2.\left(a+b\right)}{\frac{4a+3a+b}{2}+\frac{4b+3b+a}{2}}\)\(=\frac{4\left(a+b\right)}{8\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 10 2019
\(P=\frac{a^2}{a+\sqrt{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt{ab}}\)
\(P\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}=\frac{1}{1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}\ge\frac{1}{1+\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
2 tháng 1 2020
\(L.H.S=\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{b}=\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2}{b}-a+b\right)=\Sigma_{cyc}\frac{a^2-ab+b^2}{b}\)
\(=\Sigma_{cyc}\left(\frac{a^2-ab+b^2}{b}+b\right)-\left(a+b+c\right)\)
\(\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}-\left(a+b+c\right)\)
\(=\Sigma_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}+\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}-\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\Sigma_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}+\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}-\left(a+b+c\right)=\Sigma_{cyc}\sqrt{a^2-ab+b^2}=R.H.S\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c