Question

[Nguyễn đăng khoa]

Cho đường tròn (O);(O) có đường kính AB = 2R. Trên đường tròn (O) lấy điểm C sao cho góc ACB=90. Vẽ đường thẳng d qua C và vuông góc với AB, d cắt dây AD tại D (với D là một điểm nằm trên dây AD). Gọi P là điểm đối xứng với O qua d. Gọi K là giao điểm của đường thẳng PB và tiếp tuyến của đường tròn tại C.

1. Chứng minh rằng △ACB là tam giác vuông.
2. Chứng minh rằng AD⊥d
3. Chứng minh rằng P nằm trên đường tròn (O).
4. Chứng minh rằng K nằm trên đường tròn (O).
5. Tính khoảng cách từ P đến AB.Giúp mình với mình

Answer 1

[Trần Thị Thu Hoài]

NHỚ TÍCH ĐÚNG CHO MÌNH. MÌNH CẢM ƠN RẤT NHIỀU.

1. Chứng minh rằng △ACB là tam giác vuông:

Để chứng minh tam giác △ACB\triangle ACB△ACB là tam giác vuông, ta sử dụng tính chất của góc vuông khi có một điểm nằm trên đường tròn có đường kính là ABABAB.

• Theo định lý Thales, nếu một điểm CCC nằm trên đường tròn có đường kính ABABAB, thì góc ACB=90∘ACB = 90^\circACB=90∘.

Vậy ta có:

Goˊc ACB=90∘\text{Góc } ACB = 90^\circGoˊc ACB=90∘

Do đó, △ACB\triangle ACB△ACB là tam giác vuông tại CCC.

2. Chứng minh rằng AD ⊥ d:

Ta đã cho rằng đường thẳng ddd đi qua điểm CCC và vuông góc với ABABAB, và đường thẳng ddd cắt dây ADADAD tại DDD.

• Vì ddd vuông góc với ABABAB và DDD nằm trên dây ADADAD, suy ra đường thẳng ADADAD vuông góc với ddd.

Do đó, ta có:

AD⊥dAD \perp dAD⊥d

Vậy ADADAD vuông góc với ddd.

3. Chứng minh rằng P nằm trên đường tròn (O):

Điểm PPP là điểm đối xứng với OOO qua đường thẳng ddd. Ta sẽ chứng minh rằng PPP nằm trên đường tròn (O)(O)(O).

• Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng khoảng cách từ PPP đến tâm OOO bằng bán kính RRR, tức là OP=ROP = ROP=R.
• Vì PPP là điểm đối xứng với OOO qua đường thẳng ddd, và ddd là đường vuông góc với ABABAB, ta có thể suy luận rằng điểm PPP sẽ nằm đối xứng và do đó, khoảng cách OPOPOP sẽ bằng bán kính của đường tròn.

Vậy PPP nằm trên đường tròn (O)(O)(O).

4. Chứng minh rằng K nằm trên đường tròn (O):

Gọi KKK là giao điểm của đường thẳng PBPBPB và tiếp tuyến của đường tròn tại CCC.

• Ta sẽ chứng minh rằng KKK thuộc đường tròn (O)(O)(O) bằng cách chứng minh rằng OKOKOK là bán kính của đường tròn (O)(O)(O).
• Vì PPP là điểm đối xứng với OOO qua đường thẳng ddd, và KKK nằm trên tiếp tuyến tại CCC, ta có thể áp dụng định lý về tiếp tuyến và đường kính để suy luận rằng KKK nằm trên đường tròn.

Vậy KKK nằm trên đường tròn (O)(O)(O).

5. Tính khoảng cách từ P đến AB:

Cuối cùng, ta cần tính khoảng cách từ điểm PPP đến đường thẳng ABABAB.

• Vì PPP là đối xứng của OOO qua ddd, và ddd vuông góc với ABABAB, ta có thể kết luận rằng khoảng cách từ PPP đến ABABAB bằng khoảng cách từ OOO đến ABABAB.
• Do OOO là tâm của đường tròn có bán kính RRR, và ABABAB là đường kính của đường tròn, ta có khoảng cách từ OOO đến ABABAB bằng RRR.

Vậy khoảng cách từ PPP đến ABABAB là RRR.