Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $A$ ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến $AB, \, AC$ với đường tròn $(O)$ ($B, \, C$ là các tiếp điểm). Gọi $M$ là trung điểm $AB$.
a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp và xác định tâm $I$ của đường tròn này.
b) Chứng minh rằng $AM.AO=AB.AI$.
c) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ACM$. Chứng minh $MG$ // $BC$.
d) Chứng minh $IG$ vuông góc với...
Đọc tiếp
Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $A$ ở bên ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến $AB, \, AC$ với đường tròn $(O)$ ($B, \, C$ là các tiếp điểm). Gọi $M$ là trung điểm $AB$.
a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp và xác định tâm $I$ của đường tròn này.
b) Chứng minh rằng $AM.AO=AB.AI$.
c) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ACM$. Chứng minh $MG$ // $BC$.
d) Chứng minh $IG$ vuông góc với $CM$.
a: Xét tứ giác ABOC có \(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
nên ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AO
Tâm I là trung điểm của AO
b: Xét ΔABO có I,M lần lượt là trung điểm của AO,AB
=>MI là đường trung bình của ΔABO
=>MI//BO
Xét ΔAMI và ΔABO có \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AI}{AO}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\) và góc MAI chung
nên ΔAMI~ΔABO
=>\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AI}{AO}\)
=>\(AM\cdot AO=AB\cdot AI\)
c: Gọi H là trung điểm của AM
Xét ΔCMA có
G là trọng tâm
H là trung điểm của AM
Do đó: C,G,H thẳng hàng và \(CG=\dfrac{2}{3}CH\)
Ta có: CG+GH=CH
=>\(GH=HC-\dfrac{2}{3}HC=\dfrac{1}{3}HC\)
Ta có: H là trung điểm của AM
=>\(HA=HM=\dfrac{AM}{2}=\dfrac{BM}{2}\)
Ta có: HM+MB=HB
=>\(HB=\dfrac{1}{2}MB+MB=\dfrac{3}{2}MB\)
=>\(\dfrac{HM}{HB}=\dfrac{\dfrac{1}{2}MA}{\dfrac{3}{2}MA}=\dfrac{1}{3}\)
Xét ΔHCB có \(\dfrac{HM}{HB}=\dfrac{HG}{HC}\left(=\dfrac{1}{3}\right)\)
nên MG//BC