Chứng minh\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 9 2020
Bài dễ mừ, có phải Croatia thật ko vậy :)) (viết đề bị nhầm, là x,y,z dương chứ :))
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số:
\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\)
\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+z\right)\left(y+x\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\)
Xét \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{4}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z, Xong! :))
PN
8 tháng 2 2021
dùng bđt phụ \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\) với bđt Cô-si nhé
TN
22 tháng 4 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left(x+y+\frac{x+y}{xy}\right)^2}{2}\)
Lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow1\ge4xy\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)
Khi đó \(A\ge\frac{\left(1+\frac{1}{xy}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{5^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
9 tháng 3 2016
Theo bất đẳng thức Cô-Si, ta có \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\to xy\le\frac{1}{4}.\) Do vậy áp dụng bất đẳng thức Cô-Si
\(xy+\frac{1}{xy}=xy+\frac{1}{16xy}+\frac{15}{16xy}\ge2\sqrt{xy\cdot\frac{1}{16xy}}+\frac{15}{16\cdot\frac{1}{4}}=\frac{17}{4}.\)
a. Ta có \(M=\left(xy\right)^2+\frac{1}{\left(xy\right)^2}+2=\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\ge\left(\frac{17}{4}\right)^2=\frac{289}{16}.\) Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}.\) Vây giá trị bé nhất của M là \(\frac{289}{16}.\)
b. Theo bất đẳng thức Cô-Si
\(N\ge2\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(y+\frac{1}{y}\right)=2\left(xy+\frac{1}{xy}\right)+2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge2\cdot\frac{17}{4}+4\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=\frac{25}{2}.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ \(x=y=\frac{1}{2}.\)
4 tháng 9 2021
a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow3x^3+3y^3\ge3x^2y+3xy^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2\left(x-y\right)-3y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\left(đúng\right)\)
4 tháng 9 2021
a: Ta có: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(ta\)\(có\)\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow2\left(X^2+Y^2\right)\ge2XY+X^2+Y^2=\left(X+Y\right)^2\)
\(\Rightarrow X^2+Y^2\ge\frac{\left(X+Y\right)^2}{2}\)