Question

[Dung Viet Nguyen]

Bài 1. Chứng minh rằng 8¹⁰² - 2¹⁰² chia hết cho 10.

Bài 2 . Tìm hai chữ số tận cùng của 2¹⁰⁰.

Bài 3 . Tìm hai chữ số tận cùng của 7¹⁹⁹¹

Answer 1

[GV]

a) Ta có \(8^2=64\)

              \(8^4=8^2=64^2=...6\) (tận cùng là 6)

=>        \(\left(8^4\right)^n=\left(...6\right)^n=...6\)

Ta có: \(8^{102}=8^{100}.8^2=\left(8^4\right)^{25}.8^2=\left(...6\right).64=...4\)

Tương tự: \(\left(2^4\right)^n=16^n=...6\)

  => \(2^{102}=2^{100}.2^2=\left(2^4\right)^{25}.2^2=\left(...6\right).4=...4\)

Vậy \(8^{102}\) và \(2^{102}\) đều có chữ số tận cùng là 4 => Hiệu của chúng có tận cùng là 0 => Hiệu chia hết cho 10

b) \(2^{100}=\left(2^4\right)^{25}=16^{25}=...6\) 

c) \(7^{1991}=\left(7^4\right)^{497}.7^3\) (vì 1991 = 4.497 + 3

               \(=\left(...1\right)^{479}.7^3=\left(...1\right).343=...3\)

Answer 2

[Dung Viet Nguyen]

jEm có cách khác cô ạ !

Bài 1 .

Giải : Ta thấy một số có tận cùng bằng 6 nâng lên lũy thừa nào ( khác 0 ) cũng tận cùng bằng 6 ( vì nhân hai số có tận cùng bằng 6 với nhau , ta được số tận cùng bằng 6 ) . Do đó ta biến đổi như sau :

8¹⁰² = ( 8⁴ )²⁵ . 8² = ( ...6 )²⁵ . 64 = ( ...6 ) . 64 = ...4,

2¹⁰² = ( 2⁴ )²⁵ . 2² = 16²⁵ . 4 = ( ...6 ) . 4 = ...4 .

Vậy 8¹⁰² - 2¹⁰² tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 10.

Ta có nhận xét : Để tìm chp số tận cùng của một lũy thừa , ta chú ý rằng :

- Các số có tận cùng bằng 0 , 1 , 5 , 6 nâng lên lũy thừa nào ( khác 0 ) cũng tận cùng bằng 0 , 1 , 5 , 6 ;

- Các số có tận cùng bằng 2 , 4 , 8 nâng lên lũy thừa 4 thì được số tận cùng bằng 6 ;

- Các số có tận cùng bằng 3 , 7 , 9 nâng lên lũy thừa 4 thì được số tận cùng bằng 1 .

Bài 2 .

Giải : Chú ý rằng : 2¹⁰ = 1024 , bình phương của số có tận cùng bằng 24 thì tận cùng bằng 76 , số có tận cùng bằng 76 nâng lên lũy nào ( khác 0 ) cũng tận cùng 76 . Do đó :

2¹⁰⁰ = ( 2¹⁰ )¹⁰ = 1024¹⁰ = ( 1024² )⁵ = ( ...76 )⁵ = ...76

Vậy hai chữ số tận cùng của 2¹⁰⁰ là 76.

Bài 3 .

Giải : Ta thấy : 7⁴ = 2401 , số tận cùng bằng 01 nâng lên lũy thừa nào cũng tận cùng bằng 01 . Do đó :

7¹⁹⁹¹ = 7¹⁹⁸⁸ . 7³ = ( 7⁴ )⁴⁹⁷ . 343 = ( ...01 )⁴⁹⁷ . 343

= ( ...01 ) . 343 = ...43

Vậy 7¹⁹⁹¹ có hai chữ số tận cùng là 43 .

Ta có nhận xét : Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa , cần chú ý đến những số đặc biệt :

- Các số có tận cùng bằng 01 , 25 , 76 nâng lên lũy thừa nào ( khác 0 ) cũng tận cùng bằng 01 , 25 , 76 ;

- Các số 3²⁰ ( hoặc 81⁵ ) , 7⁴ , 51² , 99² có tận cùng bằng 01 ;

- Các số 2²⁰ , 6⁵ , 18⁴ , 24² , 68⁴ , 74² có tận cùng bằng 76 ;

- Số 26ⁿ ( n > 1 ) có tận cùng bằng 76.