a, b, c > 0 thỏa a + b + c = abc. CMR:\(a^2+b^2+c^2\ge\sqrt{3}abc\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
14 tháng 12 2020
Ta thấy: \(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{abc\left(b^2+c^2\right)}}=\Sigma_{cyc}\frac{a^2+bc}{\sqrt[3]{\left(a^2b+b^2c\right)\left(bc^2+ca^2\right)\left(c^2a+ab^2\right)}}\)
Ta lại có: \(\sqrt[3]{\left(a^2b+b^2c\right)\left(bc^2+ca^2\right)\left(c^2a+ab^2\right)}\le\frac{\left(a^2b+b^2c\right)+\left(bc^2+ca^2\right)+\left(c^2a+ab^2\right)}{3}=\frac{1}{3}\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{abc\left(b^2+c^2\right)}}\ge\frac{\Sigma_{cyc}\left(a^2+bc\right)}{\frac{1}{3}\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{\frac{1}{3}\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)}\)
Nhận thấy: \(A=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)=a^3+b^3+c^3+3abc+2\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)\)
Theo Schur: \(a^3+b^3+c^3+3abc\ge\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow A\ge3\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{abc\left(b^2+c^2\right)}}\ge\frac{3\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)}{\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\Sigma_{cyc}\left(ab\left(a+b\right)\right)}=\frac{9}{a+b+c}\)
RD
9 tháng 12 2018
a)Bunhia:
\(\left(1+2\right)\left(b^2+2a^2\right)\ge\left(1.b+\sqrt{2}.\sqrt{2}a\right)^2=\left(b+2a\right)^2\)
b)\(ab+bc+ca=abc\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\)
Áp dụng bđt câu a
=>VT\(\ge\)\(\dfrac{b+2a}{\sqrt{3}ab}+\dfrac{c+2b}{\sqrt{3}bc}+\dfrac{a+2c}{\sqrt{3}ca}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}=3=VP\)
Tự tìm dấu "="
9 tháng 12 2018
Nguyễn Việt LâmMashiro ShiinaBNguyễn Thanh HằngonkingCẩm MịcFa CTRẦN MINH HOÀNGhâu DehQuân Tạ MinhTrương Thị Hải Anh
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
TN
1 tháng 3 2018
Ta có: \(\left(a+b+c\right)^3-27abc=\frac{7a+b+c}{2}\left(b-c\right)^2+\frac{7b+c+a}{2}\left(c-a\right)^2+\frac{7c+a+b}{2}\left(a-b\right)^2\)
Va` \(a+b+c-\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2}{a+b+c+\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^3}{abc}-27+54\left(\frac{a+b+c}{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^3-27abc}{abc}+54\left(\frac{a+b+c-\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{Σ\left(\frac{7c+a+b}{2}\left(a-b\right)^2\right)}{abc}-\frac{\frac{Σ54\left(a-b\right)^2}{a+b+c+\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}}{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(a-b\right)^2\left(\frac{\frac{7c+a+b}{2}}{abc}-\frac{\frac{54}{a+b+c+\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}}{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\right)\ge0\) *Đúng*
"=" <=> a=b=c :v
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 9 2021
Do vai trò của 3 biến là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge b\ge c\)
\(\Rightarrow\) Theo BĐT Chebyshev:
\(3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\) (1)
Bunhiacopxki:
\(\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2\le2\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\le6\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\ge6\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\ge6\)
Hiển nhiên đúng do: \(a^3+b^3+c^3\ge3abc=6\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 6 2020
Lời giải:
Bài này mình nghĩ đề không tồn tại dấu "=" bạn nhé, chỉ là $a>\sqrt{\frac{1+2\sqrt{3}}{3}}$
Ta có:
$a+b+c=abc$
$a(bc-1)=b+c$
$a^2(bc-1)^2=(b+c)^2=(b-c)^2+4bc\geq 4bc$
Thay $bc=a^2$ thì:
$a^2(a^2-1)^2\geq 4a^2$
$\Rightarrow (a^2-1)^2\geq 4$
$\Rightarrow (a^2-1-2)(a^2-1+2)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a^2-3)(a^2+1)\geq 0$
$\Leftrightarrow a^2-3\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-\sqrt{3})(a+\sqrt{3})\geq 0$
$\Rightarrow a-\sqrt{3}\geq 0$ (do $a>0$)
$\Rightarrow a\geq \sqrt{3}>\sqrt{\frac{1+2\sqrt{3}}{3}}$
(đpcm)