Question

[KAl(SO4)2·12H2O]

Bài 3:

Cho: \(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{cases}}\)

CMR: \(x+y^2+z^3=1\)

Bài 5: Cho a,b,c là 3 số thực đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn:

\(a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}\)

CMR: \(abc=1;abc=-1\)

Answer 1

[lê văn hải]

Bài 5 nha:

   \(a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}\Leftrightarrow a-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}.\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)=\frac{b-c}{bc}_{\left(1\right)}\)

\(a+\frac{1}{b}=c+\frac{1}{a}\Leftrightarrow a-c=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)=\frac{b-a}{ab}_{\left(2\right)}\)

\(c+\frac{1}{a}=b+\frac{1}{c}\Leftrightarrow c-b=\frac{1}{c}-\frac{1}{a}\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)=\frac{a-c}{ac}_{\left(3\right)}\)

Nhân từng vế của (1) ; (2) và (3) , ta được :

        \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(c-b\right)=\frac{\left(b-c\right)\left(b-a\right)\left(a-c\right)}{\left(abc\right)^2}\)

                                                              \(=\frac{\left(c-b\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{\left(abc\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(abc\right)^2=1\Leftrightarrow abc=1\)hoặc \(abc=\left(-1\right)\)

Answer 2

[lê văn hải]

Bài 3:

  Ta có : \(x^2+y^2+z^2=1\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\)

                                        \(=1+2\left(xy+yz+zx\right)\Leftrightarrow1=1+2\left(xy+yz+zx\right)\)

             \(\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)(*)

             áp dụng kết quả sau :

  Ta có : \(a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)

  Thấy vậy : \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b+c\left(ab+bc+ca\right)\right)-3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)^33\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

                                                   \(=\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)

         áp dụng vào bài toán, ta có :

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)

\(=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left(2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)\right)\)

\(\Leftrightarrow1-3xyz=\frac{1}{2}\times1\times2=1\Leftrightarrow xyz=0\)(**)

Mà \(x+y+z=1\)(***)

\(\Leftrightarrow\)x ; y ; z là 3  nghiệm của pt bậc 3 sau : \(U^3-U^2=0\)

\(\Leftrightarrow U=0\)hoặc \(U=1\)

=> 1 trong 3 phần tử x ; y ; z =1 ; 2 phần tử còn lại sẽ = 0

Do đó \(x+y^2+z^3=1\)

   => điều phải chứng minh.