Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O), đường cao BE, CF, trực tâm H. BE cắt (O) tại K.
a) Chứng minh: AH=AK.
b) Chứng minh: AO vuông góc vớiEF.
c) Khi BC cố định, A di chuyển trên (O), chứng minh: đường thẳng qua H vuông góc với EF đi qua một điểm cố...
Đọc tiếp
Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O), đường cao BE, CF, trực tâm H. BE cắt (O) tại K.
a) Chứng minh: AH=AK.
b) Chứng minh: AO vuông góc vớiEF.
c) Khi BC cố định, A di chuyển trên (O), chứng minh: đường thẳng qua H vuông góc với EF đi qua một điểm cố định.
a:Xét ΔABC có
BE,CF là các đường cao
BE cắt CF tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
=>AH\(\perp\)BC tại D
Xét (O) có \(\widehat{AKB};\widehat{ACB}\) là các góc nội tiếp chắn cung AB
nên \(\widehat{AKB}=\widehat{ACB}\)
mà \(\widehat{ACB}=\widehat{AHE}\left(=90^0-\widehat{DAC}\right)\)
nên \(\widehat{AKB}=\widehat{AHE}\)
=>\(\widehat{AHK}=\widehat{AKH}\)
=>AK=AH
b: Xét tứ giác BFEC có \(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)
nên BFEC là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{FEC}+\widehat{FBC}=180^0\)
mà \(\widehat{CEF}+\widehat{AEF}=180^0\)
nên \(\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\)
Gọi Ax là tiếp tuyến tại A của (O)
Xét (O) có
\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC
\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC
DO đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)
=>\(\widehat{xAC}=\widehat{AEF}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên FE//Ax
mà Ax\(\perp\)OA
nên OA\(\perp\)EF