Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(y^2\left(y^2-1\right)+2y\left(y^2-1\right)-x^2-x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2+2y\right)\left(y^2-1\right)-x^2-x=0\)
\(\Leftrightarrow y\left(y+1\right)\left(y-1\right)\left(y+2\right)-x^2-x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2+y\right)\left(y^2+y-2\right)-x^2-x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2+y\right)^2-2\left(y^2+y\right)-x^2-x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2+y-1\right)^2-1-x^2-x=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2y^2+2y-2\right)^2-\left(2x+1\right)^2-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2y^2+2y-2x-3\right)\left(2y^2+2y+2x-1\right)=3\)
Pt ước số
Ta có hệ \(\hept{\begin{cases}\left(4x^2+1\right)x+\left(y-3\right)\sqrt{5-2y}=0\left(1\right)\\4x^2+y^2+2\sqrt{3-4x}=7\left(2\right)\end{cases}}\)
ĐK \(\hept{\begin{cases}y\ge\frac{5}{2}\\x\le\frac{3}{4}\end{cases}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}2x=a\\\sqrt{5-2y}=b\ge0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4x^2=a^2\\5-2y=b^2\end{cases}}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}4x^2=a^2\\y-3=\frac{5-b^2}{2}-3=\frac{-1-b^2}{2}\end{cases}}\)
Thế vào (1) ta có \(\left(a^2+1\right)\frac{a}{2}+\frac{-1-b^2}{2}b=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+a}{2}+\frac{-b^3-b}{2}=0\Leftrightarrow a^3-b^3+a-b=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a=b\)vì \(a^2+ab+b^2+1>0\forall a,b\)
\(\Rightarrow2x=\sqrt{5-2y}\Rightarrow4x^2=5-2y\Rightarrow y=\frac{5-4x^2}{2}\)
Thế y vào (2) ta có \(4x^2+\left(\frac{5-4x^2}{2}\right)^2+2.\sqrt{3-4x}=7\)
\(\Leftrightarrow16x^2+\left(5-4x^2\right)^2+8\sqrt{3-4x}=28\)\(\Leftrightarrow16x^2+25-40x^2+16x^4+8\sqrt{3-4x}-28=0\)
\(\Leftrightarrow16x^4-24x^2+8\sqrt{3-4x}-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(16x^4-1\right)-\left(24x^2-6\right)+\left(8\sqrt{3-4x}-8\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x^2-1\right)\left(4x^2+1\right)-6\left(4x^2-1\right)+\left(8\sqrt{3-4x}-8\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x^2-1\right)\left(4x^2+1\right)-6\left(4x^2-1\right)+8.\frac{2-4x}{\sqrt{3-4x}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)\left(4x^2+1\right)-6\left(2x+1\right)\left(2x-1\right)-8.2.\frac{2x-1}{\sqrt{3-4x}+1}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left[\left(2x+1\right)\left(4x^2+1\right)-6\left(2x+1\right)-\frac{16.1}{\sqrt{3-4x}+1}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)\left[\left(2x+1\right)\left(4x^2-5\right)-\frac{16}{\sqrt{3-4x}+1}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow2x-1=0\)
Vì với \(y=\frac{5-4x^2}{2}\ge\frac{5}{2}\Rightarrow4x^2-5< 0\Rightarrow\left(2x+1\right)\left(4x^2-5\right)-\frac{16}{\sqrt{3-4x}+1}< 0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{5-4\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}=2\)
Vậy hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\frac{1}{2};2\right)\)
Từ \(x^2+2y=-11\Rightarrow y=-\frac{x^2}{2}-\frac{11}{2}\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(-\frac{x^2}{2}-\frac{11}{2}\right)^4+4(2x-3)\left(-\frac{x^2}{2}-\frac{11}{2}\right)^2-32\left(-\frac{x^2}{2}-\frac{11}{2}\right)-48x-140=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^8}{16}+\frac{11x^6}{4}+2x^5+\frac{339x^4}{8}+44x^3+\frac{1131x^2}{4}+194x+\frac{9409}{16}=0\)
Tới đây tìm được \(Min=\frac{1}{48}\left(4225+\sqrt[3]{1972230880321-24752089344\sqrt{4317}}+\sqrt[3]{1972230880321+24752089344\sqrt{4317}}\right)>0\)
Hay pt >0 tức vô nghiệm :v
Làm sao để tìm min = 1/48 giải rùm mình từ đoạn đó đc không
Xin lỗi ạ. Tại không giỏi đánh máy. Vậy bỏ câu này đi ạ. Chị giải câu kia giúp e nhé
Gõ đề có sai không ạ?
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3+2x^2y-x^4y^2}+x^4\left(1-2x^2\right)=y^4\\1+\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=x^3\left(x^3-x+2y^2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}=2x^6-x^4+y^4\\-\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=1-x^6+x^4-2x^3y^2\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế HPT2
\(\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}-\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=\left(x^3-y^2\right)^2+1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}=\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}+\left(x^3-y^2\right)^2+1\) (1)
Có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}\le2\\\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}+\left(x^2-y^2\right)^2+1\ge2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) (1) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{4-\left(1-x^2y\right)^2}=2\\\sqrt{1+\left(x-y\right)^2}=1\\\left(x^3-y^2\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)
a.
\(x^2+4y^2+4xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2y\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x+2y=0\)
\(\Leftrightarrow x=-2y\)
Vậy pt đã cho có vô số nghiệm dạng \(\left(x;y\right)=\left(-2k;k\right)\) với k là số thực bất kì (nếu đề đúng)
b.
\(2y^4-9y^3+2y^2-9y=0\)
\(\Leftrightarrow2y^2\left(y^2+1\right)-9y\left(y^2+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2y^2-9y\right)\left(y^2+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow y\left(2y-9\right)\left(y^2+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\2y-9=0\\y^2+1=0\left(vn\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=\dfrac{9}{2}\end{matrix}\right.\)
c. Em kiểm tra lại đề chỗ \(3xy^2\), đề đúng như vậy thì pt này ko giải được
Ta có :
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+y-2}+\frac{x+2y+4}{x+2y}=3\\\frac{x+y}{x+y-2}-\frac{8}{x+2y}=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+y-2}+1+\frac{4}{x+2y}=3\\\frac{x+y}{x+y-2}-1-\frac{8}{x+2y}=1-1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+y-2}+\frac{4}{x+2y}=2\\\frac{2}{x+y-2}-\frac{8}{x+2y}=0\end{cases}}\)
Đặt \(\frac{1}{x+y-2}=a;\frac{1}{x+2y}=b\)ta có :
\(\hept{\begin{cases}a+4b=2\\2a-8b=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2-4b\\2\left(2-4b\right)-8b=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2-4b\\4-8b-8b=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2-4b\\16b=4\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2-1=1\\b=\frac{1}{4}\end{cases}}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(1;\frac{1}{4}\right)\)
Ta có:
\(y^3+2y^2+y+4=\left(y+2\right)^3-\left(4y^2+11y+4\right)\)
Do y là số tự nhiên \(\Rightarrow4y^2+11y+4>0\Rightarrow\left(y+2\right)^3>y^3+2y^2+y+4\)
Đồng thời cũng do y tự nhiên \(\Rightarrow2y^2+y+4>0\Rightarrow y^3+2y^2+y+4>y^3\)
\(\Rightarrow y^3< y^3+2y^2+y+4< \left(y+2\right)^3\)
\(\Rightarrow y^3+2y^2+y+4\) là lập phương của 1 số tự nhiên khi và chỉ khi:
\(y^3+2y^2+y+4=\left(y+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow y^2+2y-3=0\Rightarrow y=1\)
\(\Rightarrow x^3=8\Rightarrow x=2\)