Chứng minh bằng quy nạp: -x+x4n+1⋮30
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TP
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2023
Lời giải:
Tổng của $n$ số hạng trong dãy là cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q$ là:
$S_n=u_1+u_2+....+u_n=u_1+u_1q+u_1q^2+...+u_1q^{n-1}$
$=u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})$
$qS_n=u_1(q+q^2+q^3+...+q^n)$
$\Rightarrow qS_n-S_n=u_1(q+q^2+q^3+...+q^n)-u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})$
$\Rightarrow S_n(q-1)=u_1(q^n-1)$
$\Rightarrow S_n=\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$
Ta có đpcm.
PT
1
CM
12 tháng 1 2019
* Với n =1 ta có 1 3 + 11.1 = 12 chia hết cho 6 đúng.
* Giả sử với n = k thì k 3 + 11 k chia hết cho 6.
* Ta phải chứng minh với n =k+1 thì ( k + 1 ) 3 + 11(k +1) chia hết cho 6.
Thật vậy ta có :
k + 1 3 + 11 k + 1 = k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 + 11 k + 11 = ( k 3 + 11 k ) + 3 k ( k + 1 ) + 12 *
Ta có; k 3 +11k chia hết cho 6 theo bước 2.
k(k+1) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 ⇒ 3 k ( k + 1 ) ⋮ 6
Và 12 hiển nhiên chia hết cho 6.
Từ đó suy ra (*) chia hết cho 6 (đpcm).
29 tháng 8 2021
Với n = 1 thì \(x^1\ge2.x^0=0\)
Giả sử đẳng thức đúng với n = k nghĩa là : \(x^k\ge\left(k+1\right).x^{k-1}\).
Ta phải chứng minh :
\(x^n\ge\left(n+1\right).x^{n-1}\)đúng với n = k + 1. Ta phải chứng minh \(x^{k+1}\ge\left[\left(k+1\right)+1\right].x^{\left(k-1\right)+1}=\left(k+2\right).x^k\)
\(=\left(x^k.k+2x^k+1\right)-1=\left(x^k+1\right)^2-1\le x^{k+1}\)
Vậy đẳng thức luôn đúng với mọi \(n\inℕ^∗\)
VT
0
DA
2
TV
27 tháng 8 2021
bạn ơi mình có cách làm bài này dễ hơn quy nạp, bạn có thể tham khảo mình :
trước tiên mình cho bạn công thức an-bn chia hết a-b (n tự nhiên,a,b nguyên)và đề trên bạn thiếu n>0 nha , n=0 thì điều cm ko đúng
11n+1+122n-1
=11n+2-1+11n-1.12-11n-1.12+122n-2+1
=121.11n-1+11n-1.12+144n-1.12-11n-1.12
=11n-1(121+12)+12(144n-1-11n-1)
=11n-1.133+12(144n-1-11n-1)
vì 133 chia hết cho 133 suy ra 11n-1.133 chia hết cho 133 (1)
vì n>0 suy ra n-1>=0 suy ra n-1 tự nhiên
vì 144n-1-11n-1 chia hết cho 144-11=133 và n-1 tự nhiên suy ra 144n-1-11n-1 chia hết cho 133 suy ra 12(144n-1-11n-1) chia hết cho 133 (2)
từ (1),(2) suy ra 11n-1.133+12(144n-1-11n-1)chia hết cho 133 suy ra 11n+1+122n-1 chia hết cho 133
DA
15
AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 11 2023
Lời giải:
Xét csn $(u_n)$ với công bội $q$
Ta có:
$S_n=u_1+u_2+...+u_n=u_1+u_1q+u_1q^2+....+u_1q^{n-1}$
$=u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})$
$qS_n=u_1(q+q^2+q^3+....+q^n)$
$\Rightarrow qS_n-S_n=u_1(q^n-1)$
$\Rightarrow S_n(q-1)=u_1(q^n-1)$
$\Rightarrow S_n=\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$
Ta có đpcm.
PT
1
CM
15 tháng 6 2019
+ Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì ta làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1 .
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1. Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k+1.
Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với n ∈ N*.
+ Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N* ta có: n3 + 5n chia hết cho 6.
Chứng minh: Đặt P(n) = n3 + 5n.
Với n =1 ⇒ P(1) = 6 ⋮ 6
Giả sử (Pn) chia hết cho 6 đúng với n=k ≥1, nghĩa là, ta có:
P(k) = (k3 + 5k) ⋮ 6.
Ta có: P(k+1) = (k+1)3 + 5(k+1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 5k + 5 = k3 + 5k + 3(k2 + k) + 6
Mặt khác, theo giả thiết quy nạp ta có: k3 + 5k ⋮6.
Hơn nữa k2 + k = k(k+1) : 2 ( hai số tự nhiên tiếp k, k +1 phải có một số chẵn do k(k+1):2).
Do vậy P(k+1)⋮6. Tức mệnh đề đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí quy nạp, ta có P(n) = n3 + 5n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N*.
Với \(n=0\) thì đpcm thành \(0⋮30\), luôn đúng.
Với \(n=1\) thì đpcm thành \(x^5-x⋮30\). Ta thấy:
\(VT=x^5-x=x\left(x^4-1\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)
Ta thấy \(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\) là tích của 3 số liên tiếp nên nó chia hết cho 6 \(\Rightarrow VT⋮6\) (1)
Nếu \(x⋮5\Rightarrow VT⋮5\)
Nếu \(x\equiv\pm1\left[5\right]\) thì \(x-1\) hoặc \(x+1\) chia hết cho 5 \(\Rightarrow VT⋮5\)
Nếu \(x\equiv\pm2\left[5\right]\) thì \(x^2+1⋮5\Rightarrow VT⋮5\)
Vậy với mọi \(x\) thì \(VT⋮5\) (2)
Do \(ƯCLN\left(5,6\right)=1\) nên từ (1) và (2) \(\Rightarrow x^5-x⋮30\)
Vậy với \(n=1\) thì khẳng định đúng.
Giả sử khẳng định đúng đến \(n=k\ge0\). Ta cần chứng minh khẳng định đúng với \(n=k+1\)
Với \(n=k+1\), ta có:
\(x^{4n+1}-x\) \(=x^{4\left(k+1\right)+1}-x\)
\(=x^{4k+5}-x\)
\(=x^4.x^{4k+1}-x^5+x^5-x\)
\(=x^4\left(x^{4k+1}-x\right)+\left(x^5-x\right)\)
Mà theo giả thiết quy nạp, \(x^{4k+1}-x⋮30\) và theo cmt thì \(x^5-x⋮30\)
\(\Rightarrow x^{4n+1}-x=x^4\left(x^{4k+1}-x\right)+\left(x^5-x\right)⋮30\). Như vậy, khẳng định đúng với \(n=k+1\).
Theo nguyên lí quy nạp, ta có đpcm.