Question

[Huỳnh Ngọc]

Cho pt x² -2 (m+1)x+2m-13=0 (1)

a)Tìm m để pt (1) có 2 nghiệm x₁x₂ thỏa x₁+3x₂ =2

b)Tìm m để biểu thức A=1/x₁+1/x₂ có giá trị nguyên

c)Tìm m để pt(1) có nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương

d)Tìm giá trị của m để pt (1) có 1 nghiệm nhỏ hơn 2,một nghiệm lớn hơn 2

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: \(\Delta=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(2m-13\right)\)

\(=\left(2m+2\right)^2-4\left(2m-13\right)\)

\(=4m^2+8m+4-8m+52=4m^2+56>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=2m-13\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1+3x_2=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2-x_1-3x_2=2m+2-2\\x_1+3x_2=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2x_2=2m\\x_1=2-3x_2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=-m\\x_1=2+3m\end{matrix}\right.\)

\(x_1\cdot x_2=2m-13\)

=>\(-m\left(3m+2\right)=2m-13\)

=>\(m\left(3m+2\right)=-2m+13\)

=>\(3m^2+2m+2m-13=0\)

=>\(3m^2+4m-13=0\)

=>\(m=\dfrac{-2\pm\sqrt{43}}{3}\)

b: \(A=\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{2m+2}{2m-13}\)

Để A là số nguyên thì \(2m+2⋮2m-13\)

=>\(2m-13+15⋮2m-13\)

=>\(15⋮2m-13\)

=>\(2m-13\in\left\{1;-1;3;-3;5;-5;15;-15\right\}\)

=>\(2m\in\left\{14;12;16;10;18;8;28;-2\right\}\)

=>\(m\in\left\{7;6;8;5;9;4;14;-1\right\}\)

c: Để phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu thì a*c<0

=>1(2m-13)<0

=>2m-13<0

=>2m<13

=>\(m< \dfrac{13}{2}\)(1)

Để nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương thì x1+x2<0

=>2(m+1)<0

=>m<-1(2)

Từ (1),(2) suy ra m<-1

d: Để phương trình (1) có một nghiệm bé hơn 2, một nghiệm lớn hơn 2 thì \(\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)< 0\)

=>\(x_1x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4< 0\)

=>\(2m-13-2\left[2\left(m+1\right)\right]+4< 0\)

=>\(2m-9-4\left(m+1\right)< 0\)

=>2m-9-4m-4<0

=>-2m-13<0

=>2m+13>0

=>\(m>-\dfrac{13}{2}\)