K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

8 tháng 10 2017

Ta có:

a3b3+2b3c3+3a3c3

= a3b3_b3c3+3b3c3 + 3a3c3

= b3(a3-c3) +3c3(b3+a3)

=b3(-b3-2c3)+3c3(-c3)

=-b6-2b3c3-3c6 \(\le0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)>=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0\)(vì a+b+c>0)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2>=0\)(luôn đúng)

3 tháng 1 2022

\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)

Vì \(a,b,c>0\Leftrightarrow a+b+c>0\)

Lại có \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\dfrac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)

Nhân vế theo vế ta được đpcm

Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c\)

22 tháng 5 2019

21 tháng 12 2021

a3+b3+c3= (a+b)3-3ab(a+b)+c3
Thay a+b=-c vào, ta được: 
a3 + b3 +c3 = (-c)3 -3ab(-c) +c3 = 3abc (đpcm)

a: Ta có: \(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{matrix}\right.\)

Ta có: a+b+c=0

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

b: Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=0\)

21 tháng 8 2021

a) \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)=0\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)(đúng do a+b+c = 0)

a: Ta có: a+b+c=0

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{matrix}\right.\)

Ta có: a+b+c=0

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

b: Ta có: \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=0\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 7 2023

Lời giải:

$a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c$

Ta có:
$a^3+b^3+c^3=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2+c^3$
$=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3=(-c)^3-3ab(-c)+c^3=(-c)^3+3abc+c^3=3abc$ chứ không phải bằng $0$ nhé. 

23 tháng 10 2017

+) Ta có: a 3 + b 3 = a + b 3 - 3 a b a + b

Thật vậy, VP = a + b 3  – 3ab (a + b)

= a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 - 3 a 2 b - 3 a b 2

= a 3 + b 3  = VT

Nên  a 3 + b 3 + c 3 = a + b 3 - 3 a b a + b + c 3  (1)

Ta có: a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c (2)

Thay (2) vào (1) ta có:

a 3 + b 3 + c 3 = - c 3 - 3 a b - c + c 3 = - c 3 + 3 a b c + c 3 = 3 a b c

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

29 tháng 10 2021

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)

29 tháng 10 2021

\(a^3+b^3+c^3=3abc\\ \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\\ \Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\\ \left(1\right)\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=c\)

Vậy \(a^3+b^3+c^3=3abc\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b+c=0\\a=b=c\end{matrix}\right.\)

22 tháng 12 2021

ai cứu mình với ạ:(

25 tháng 8 2021

a+b+c+d=0 => a+d= -b-c;       (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b) => a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)

a3+d3+b3+d3

=(a+d)3- 3ad(a+d)+ (b+c)3-3bc(b+c) (1)

Do a+d=-b-c nên pt (1) trở thành:

-(b+c)3-3ad(-b-c)+ (b+c)3-3bc(b+c)

=3ad(b+c)-3bc(b+c)

=3(b+c)(ad-bc) <đccm>