cho tam giác ABC vuông tại A (ab<ac) trên tia đối của tia AB lấy K sao cho AB=AK
a,chứng minh tam giác ABC=tam giácAKC
b,kẻ BE vuông góc với CK tại E ,BE cắt CA tại I ,kẻ IF vuông góc với BC tại F. cứng minh tam giác FIC= tam giác ECI và ci là đường trung trực của EF
c, chứng minh 3 điểm K,I,F thẳng hàng
a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔAKC vuông tại A có
CA chung
AB=AK
Do đó: ΔABC=ΔAKC
b: ΔABC=ΔAKC
=>\(\widehat{ACB}=\widehat{ACK}\)
Xét ΔCEI vuông tại E và ΔCFI vuông tại F có
CI chung
\(\widehat{ECI}=\widehat{FCI}\)
Do đó: ΔCEI=ΔCFI
=>CE=CF và IE=IF
Ta có: CE=CF
=>C nằm trên đường trung trực của EF(1)
ta có: IE=IF
=>I nằm trên đường trung trực của EF(2)
Từ (1),(2) suy ra CI là đường trung trực của EF
c: Xét ΔCKB có
BE,CA là các đường cao
BE cắt CA tại I
Do đó: I là trực tâm của ΔCKB
=>KI\(\perp\)BC
mà IF\(\perp\)BC
nên K,I,F thẳng hàng
TK:
a) Ta có \(AB = AK\), và \(\angle B = \angle K\). Do đó, theo góc-góc-giống nhau, ta có \(\triangle ABC \equiv \triangle AKC\).
b) Vì \(BE \perp CK\) và \(IF \perp BC\), nên \(BE \parallel IF\). Từ đó, ta có:
\[
\angle BEI = \angle EFI \quad \text{(do cặp góc nội tiếp)}
\]
Tương tự, từ \(IF \parallel BE\) và \(CI \parallel EF\), ta cũng có:
\[
\angle IEF = \angle ECI
\]
Kết hợp hai kết quả trên, ta có \(\triangle FIC \equiv \triangle ECI\) (cùng có cặp góc bằng nhau).
Để chứng minh \(CI\) là đường trung trực của \(EF\), ta thấy \(CI\) là đoạn thẳng nối trung điểm của \(EF\) với \(C\), vì vậy \(CI\) chính là đường trung trực của \(EF\).
c) Để chứng minh rằng ba điểm \(K\), \(I\), \(F\) thẳng hàng, ta chỉ cần chứng minh rằng \(KIFC\) là hình chữ nhật. Vì \(KACB\) là hình vuông (với \(AB = AK\)), nên \(AC \parallel BK\), do đó \(BK \parallel AC\). Từ đó, ta có \(BK \perp CK\), từ góc phụ của tam giác \(KIF\) ta có \(\angle KFI = 90^\circ\), suy ra \(KIFC\) là hình chữ nhật.
Vậy, ta đã chứng minh ba điểm \(K\), \(I\), \(F\) thẳng hàng.