Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
Do \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)
\(\Rightarrow BC\perp SB\)
b.
\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow AC\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (ABC)
\(\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABC)
\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=1\Rightarrow\widehat{SCA}=45^0\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)
Mà \(\left\{{}\begin{matrix}BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABC\right)\\SB=\left(SAB\right)\cap\left(SBC\right)\\AB=\left(SAB\right)\cap\left(ABC\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa (SBC) và (ABC)
\(\Rightarrow\widehat{SBA}=60^0\Rightarrow SA=AB.tan60^0=a\sqrt{3}\)
\(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{SCA}\) là góc giữa SC và (ABC)
\(tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\widehat{SCA}\approx40^053'\)
Gọi M là trung điểm SB \(\Rightarrow GM=\dfrac{1}{3}AM\) (tính chất trọng tâm)
\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{3}d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)
Từ A kẻ \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)
\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{3a^2}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{4}{3a^2}\Rightarrow AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow d\left(G;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{3}AH=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)
Đáp án C
Lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật
Tam giác SAD vuông cân tại A, E là trung điểm SD nên
a: \(\widehat{SB;\left(ABC\right)}=\widehat{BS;BA}=\widehat{SBA}\)
Xét ΔSAB vuông tại A có \(tanSBA=\dfrac{SA}{AB}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{2a}=\sqrt{3}\)
nên \(\widehat{SBA}=60^0\)
=>\(\widehat{SB;\left(ABC\right)}=60^0\)
b: \(\widehat{SC;\left(ABC\right)}=\widehat{CS;CA}=\widehat{SCA}\)
ΔABC vuông tại B
=>\(BA^2+BC^2=AC^2\)
=>\(AC=\sqrt{\left(2a\right)^2+\left(3a\right)^2}=a\sqrt{13}\)
Xét ΔSAC vuông tại A có \(tanSCA=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{a\sqrt{13}}=\sqrt{\dfrac{12}{13}}\)
nên \(\widehat{SCA}\simeq43^051'\)
=>\(\widehat{SC;\left(ABC\right)}\simeq43^051'\)
c: Ta có: CB\(\perp\)AB
CB\(\perp\)SA
AB,SA cùng thuộc mp(SAB)
Do đó: CB\(\perp\)(SAB)
=>CB\(\perp\)SB
=>ΔSBC vuông tại B
\(\widehat{SC;\left(SAB\right)}=\widehat{SC;SB}=\widehat{BSC}\)
ΔSAB vuông tại A
=>\(SA^2+AB^2=SB^2\)
=>\(SB=\sqrt{\left(2a\sqrt{3}\right)^2+\left(2a\right)^2}=4a\)
Xét ΔSBC vuông tại B có \(tanBSC=\dfrac{BC}{BS}=\dfrac{3a}{4a}=\dfrac{3}{4}\)
nên \(\widehat{BSC}\simeq37^0\)
=>\(\widehat{SC;\left(SAB\right)}\simeq37^0\)
TK:
**a) Tính góc giữa \( SB \) và \( (ABC) \):**
Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng chính là góc giữa đường thẳng đó và phần bình phương của đoạn vuông góc từ điểm góc cạnh với mặt phẳng đó đến điểm trên đường thẳng đó.
Trong trường hợp này, ta cần tính góc giữa \( SB \) và mặt phẳng \( ABC \), nghĩa là góc giữa đường thẳng \( SB \) và đoạn vuông góc từ \( B \) đến mặt phẳng \( ABC \).
Gọi \( \alpha \) là góc giữa \( SB \) và \( (ABC) \).
\( \cos(\alpha) = \frac{BC}{SA} = \frac{3a}{2a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\( \alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \)
**b) Tính góc giữa \( SC \) và \( (ABC) \):**
Ta cũng sử dụng công thức tương tự như trên:
\( \cos(\beta) = \frac{AB}{SA} = \frac{2a}{2a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
\( \beta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{3} \)
**c) Tính góc giữa \( SC \) và \( (SAB) \):**
Góc này chính là góc giữa đường thẳng \( SC \) và đường thẳng \( SA \). Vì \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( ABC \), nên góc giữa \( SC \) và \( SA \) chính là góc giữa \( SC \) và đường thẳng \( AB \) trong mặt phẳng \( ABC \), tức là góc \( \beta \) đã tính ở câu b).
Vậy:
- a) Góc giữa \( SB \) và \( (ABC) \) là \( \frac{\pi}{6} \) radian.
- b) Góc giữa \( SC \) và \( (ABC) \) là \( \frac{\pi}{3} \) radian.
- c) Góc giữa \( SC \) và \( (SAB) \) cũng là \( \frac{\pi}{3} \) radian.