Question

[Trần Đức Cao Phát]

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(a+b+c\le3\) chứng minh rằng:

\(\dfrac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{ca}{\sqrt{b^2+3}}\le\dfrac{3}{2}\)

Nhận xét; ta cần biến đổi giả thiết để biến đổi được mẫu

nhận thấy BĐT phụ: \(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge ab+bc+ca\)

Khi đó ta sẽ có \(ab+bc+ca\le3\)

Thay vào vế trái và áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được

\(\dfrac{ab}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{ca}{\sqrt{b^2+3}}=\dfrac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}+\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}+\dfrac{ca}{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{ca}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\le\dfrac{ab}{2}\left(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}\right)+\dfrac{bc}{2}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)+\dfrac{ca}{2}\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}\right)=\dfrac{ab+bc}{2\left(a+c\right)}+\dfrac{ab+ca}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{bc+ca}{2\left(a+b\right)}=\dfrac{b\left(a+c\right)}{2\left(a+c\right)}+\dfrac{a\left(b+c\right)}{2\left(b+c\right)}+\dfrac{c\left(a+b\right)}{2\left(a+b\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\le\dfrac{3}{2}\)

Khi đó ta có điều phải chúng minh

Dâu = xảy ra khi a=b=c=1