Chứng minh \(a+b\ge\frac{12ab}{9+ab}\) với a,b>0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
1
18 tháng 1 2018
Áp dụng BĐT Cô si cho a,b>0 ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(1)
\(9+ab\ge2.3\sqrt{ab}\)(2)
Từ (1) và (2) Suy ra:
\(\left(a+b\right)\left(9+ab\right)\ge12ab\)
\(\Rightarrow a+b\ge\frac{12ab}{9+ab}\)
TT
1
27 tháng 5 2017
Cần chứng minh \(a^4\ge4b\left(a-b\right)\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2\ge0\) (đúng)
\(a^2\ge4b\left(a-b\right)\Leftrightarrow3a^2\ge12b\left(a-b\right)\left(1\right)\)
Ta chứng minh \(2a^3-3a^2+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^3-2a^2-a^2+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\left(a+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(2a^2-a-1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-1\right)\left(2a+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left(2a+1\right)\ge0\left(a>0\right)\left(2\right)\)
Vì \(3a^2\ge12b\left(a-b\right)\) theo \(\left(1\right)\)
\(\Rightarrow2a^3-12b\left(a-b\right)+1\ge2a^3-3a^2+1\ge0\) (theo \(\left(2\right)\))
18 tháng 8 2019
a) Giả sử:
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng )
=> đpcm
18 tháng 8 2019
b, Bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương \(\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ca}{b};\frac{bc}{a}\)và \(\frac{ab}{c};\frac{ca}{b}\)và \(\frac{ab}{c}\)
Ta lần lượt có : \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ca}{b}}=2c;\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{bc}{a}.\frac{ab}{c}}=2b;\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge\sqrt[2]{\frac{ca}{b}.\frac{ab}{c}}\)
Cộng từng vế ta đc bất đẳng thức cần chứng minh . Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c\)
c, Với các số dương \(3a\) và \(5b\), Theo bất đẳng thức Cauchy ta có \(\frac{3a+5b}{2}\ge\sqrt{3a.5b}\)
\(\Leftrightarrow\left(3a+5b\right)^2\ge4.15P\)( Vì \(P=a.b\))
\(\Leftrightarrow12^2\ge60P\)\(\Leftrightarrow P\le\frac{12}{5}\Rightarrow maxP=\frac{12}{5}\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(3a=5b=12:2\)
\(\Leftrightarrow a=2;b=\frac{6}{5}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 10 2019
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)
Theo BĐT Cauchy ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\\a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}.3\sqrt[3]{abc}=9\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
20 tháng 3 2020
BĐT phụ:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ( đpcm )
Vậy.......
24 tháng 12 2019
a) \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+2ab+b^2}{4}-ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b\) )
=>đpcm
25 tháng 12 2019
Cô si
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}}=2c\)
\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}}=2a\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b\)
Cộng lại ta có:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\Rightarrowđpcm\)
24 tháng 4 2019
Áp dụng bđt AM-GM:
\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\)
\(\frac{b^3}{c}+bc\ge2b^2\)
\(\frac{c^3}{a}+ac\ge2c^2\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+bc+ac\ge2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ac\left(đpcm\right)\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
12 tháng 8 2017
Bài 1 với bài 2 như nhau, đăng làm gì cho tốn công :))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :
\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)
\(\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ca}{b}}=2a\)
\(\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ac}{b}.\frac{bc}{a}}=2c\)
Cộng vế với vế ta được :
\(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\)(đpcm)
\(a+b\ge\frac{12ab}{9+ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(9+ab\right)\ge12ab\)
Ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)do đó nếu ta chứng minh được: \(9+ab\ge\frac{12ab}{2\sqrt{ab}}=6\sqrt{ab}\)thì đpcm sẽ đúng.
Ta có: \(ab+9-6\sqrt{ab}=\left(\sqrt{ab}-3\right)^2\ge0\)suy ra đpcm.
Dấu \(=\)xảy ra tại \(\hept{\begin{cases}a=b>0\\\sqrt{ab}-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=3\)