Question

[khánh555555]

Cho   tam   giác   ABC   vuông   tại   A,   đường   cao   AH.   Gọi   D,   E   lần   lượt   là   điểm   đối   xứng   của   H   qua   các   cạnh   AB,   AC. a.   Chứng   minh   BD   //   CE b.   Chứng   minh ACE ABC    c.   Chứng   minh bd.cd = de^2 /4

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Ta có: H đối xứng D qua AB

=>AH=AD và BH=BD

Xét ΔAHB và ΔADB có

AH=AD

BH=BD

AB chung

Do đó: ΔAHB=ΔADB

=>\(\widehat{HAB}=\widehat{DAB}\)

=>AB là phân giác của góc DAH

=>\(\widehat{DAH}=2\cdot\widehat{HAB}\)

Ta có: H đối xứng E qua AC

=>AE=AH và CH=CE

Xét ΔAEC và ΔAHC có

AH=AE
EC=HC

AC chung

Do đó: ΔAEC=ΔAHC

=>\(\widehat{EAC}=\widehat{HAC}\)

=>AC là phân giác của góc HAE

=>\(\widehat{HAE}=2\cdot\widehat{HAC}\)

Ta có: \(\widehat{HAD}+\widehat{HAE}=\widehat{DAE}\)

=>\(\widehat{DAE}=2\cdot\left(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}\right)\)

=>\(\widehat{DAE}=2\cdot\widehat{BAC}=180^0\)

=>D,A,E thẳng hàng

Ta có: ΔAHB=ΔADB

=>\(\widehat{ADB}=\widehat{AHB}=90^0\)

=>BD\(\perp\)DE tại D

TA có: ΔAHC=ΔAEC

=>\(\widehat{AEC}=\widehat{AHC}=90^0\)

=>CE\(\perp\)ED tại D

Ta có: BD\(\perp\)DE

CE\(\perp\)ED

Do đó: BD//CE

c: Ta có: AH=AD

AE=AH

Do đó: AE=AD

=>A là trung điểm của ED

Xét ΔHED có

HA là đường trung tuyến

\(HA=\dfrac{ED}{2}\)

Do đó: ΔHED vuông tại H

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

mà HB=DB và HC=CE

nên \(DB\cdot CE=AH^2\)

=>\(DB\cdot CE=\left(\dfrac{1}{2}DE\right)^2=\dfrac{1}{4}DE^2\)