Question

[nguyễn văn an]

cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB=2R (R là một độ dài cho trước).Gọi C,D là hai điểm trên nửa đường tròn đó sao ho C thuộc cung AD và góc COD=120 độ.Gọi giao điểm của hai dây AD và BC là E,giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là F.
a,Chứng minh rằng 4 điểm CC,D,E,F cùng nằm trên một đường tròn
b,Tính bán kính của đường tròn đi qua C,E,D,F nói trên theo R
c,Tìm giá trị lớn nhất của diện tích FAB theo R khi C,D thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn giả thiết của bài toán

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>BC\(\perp\)AF tại C

Xét (O) có

ΔADB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔADB vuông tại D

=>AD\(\perp\)FB tại D

Xét tứ giác FCED có \(\widehat{FCE}+\widehat{FDE}=90^0+90^0=180^0\)

nên FCED là tứ giác nội tiếp

=>F,E,D,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có \(\widehat{CAD}\) là góc nội tiếp chắn cung CD

nên \(\widehat{CAD}=\dfrac{\widehat{COD}}{2}=60^0\)

Ta có: ΔFDA vuông tại D

=>\(\widehat{DFA}+\widehat{DAF}=90^0\)

=>\(\widehat{DFC}=60^0\)

Xét ΔOCD có \(cosCOD=\dfrac{OC^2+OD^2-CD^2}{2\cdot OC\cdot OD}\)

=>\(\dfrac{R^2+R^2-CD^2}{2\cdot R\cdot R}=cos120=-\dfrac{1}{2}\)

=>\(CD=R\sqrt{3}\)

Xét ΔFCD có \(\dfrac{CD}{sinCFD}=2R_1\)

=>\(2R_1=\dfrac{R\sqrt{3}}{sin60}=R\sqrt{3}:\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2R\)

=>\(R_1=R\)

=>Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCED là R