Cho các số thực dương x y z và thõa mãn điều kiện : xyz=1 chứng munh bất đẳng thức 1/2x+y+3 + 1/2y+z+3 +1/2z+x+3 <= 1/2. Dấu bằng xảy ra khi nào
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 1 2017
Lời giải:
Sử dụng bổ đề: Với \(a,b>0\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\)
BĐT đúng vì nó tương đương với \((a-b)^2(a+b)\geq 0\) (luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
\(P\leq \frac{1}{x^3yz(y+z)+1}+\frac{1}{y^3xz(x+z)+1}+\frac{1}{z^3xy(x+y)+1}\)
\(\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{x^2(y+z)+xyz}+\frac{1}{y^2(x+z)+xyz}+\frac{1}{z^2(x+y)+xyz}\)
\(\Leftrightarrow P\leq \frac{1}{x(xy+yz+xz)}+\frac{1}{y(xy+yz+xz)}+\frac{1}{z(xy+yz+xz)}=\frac{xy+yz+xz}{xy+yz+xz}=1\)
Vậy \(P_{\max}=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
19 tháng 5 2021
\(gt\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}=1\)
\(P=\dfrac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2x^2+xz+2z^2}+z\sqrt{2y^2+xy+2x^2}\right)\)
\(=\dfrac{1}{xyz}\left(x\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(y+z\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(y-z\right)^2}+y\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(x+z\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x-z\right)^2}+z\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(x+y\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2}\right)\)
\(\ge\dfrac{1}{xyz}\left[x.\dfrac{\sqrt{5}\left(z+y\right)}{2}+y.\dfrac{\sqrt{5}\left(x+z\right)}{2}+z.\dfrac{\sqrt{5}\left(x+y\right)}{2}\right]\)
\(=\dfrac{\sqrt{5}\left(z+y\right)}{2yz}+\dfrac{\sqrt{5}\left(x+z\right)}{2xz}+\dfrac{\sqrt{5}\left(x+y\right)}{2xy}\)
\(=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(1+1+1\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)^2=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\) (bunhia)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=9\)
KB
19 tháng 5 2021
Thấy : \(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}=\sqrt{\dfrac{5}{4}\left(y+z\right)^2+\dfrac{3}{4}\left(y-z\right)^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)>0\)
CMTT : \(\sqrt{2x^2+xz+2z^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+z\right)\) ; \(\sqrt{2y^2+xy+2x^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)
Suy ra : \(P\ge\dfrac{1}{xyz}.\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left[x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\right]\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{5}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\)
Ta có : \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}=\sqrt{xyz}\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}=1\)
Mặt khác : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{y}}+\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\)
Suy ra : \(P\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)
" = " \(\Leftrightarrow x=y=z=9\)
6 tháng 11 2018
hùi nãy mem nào k sai cho t T_T t buồn
\(VT\ge6\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)-2\left(xy+yz+zx\right)+2.\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2-2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=6.\left(\frac{3}{4}\right)^2-2.\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+\frac{9}{2.\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{27}{8}-\frac{3}{8}+6=9\)
\(\Rightarrow\)\(VT\ge9\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Chúc bạn học tốt ~
23 tháng 5 2021
Ta có \(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=\sqrt{xyz}\left(x,y,z>0\right)\).
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=1\).
\(P=\frac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2z^2+xz+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+y^2}\right)\)\(\left(x,y,z>0\right)\).
Ta có:
\(\sqrt{2y^2+2yz+2z^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(y^2+2yz+z^2\right)+\frac{3}{4}\left(y^2-2yz+z^2\right)}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2+\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2}\).
Ta có:
\(\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2\ge0\forall y;z>0\).
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2+\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2\ge\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2\forall y;z>0\).
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{3}{4}\left(y-z\right)^2+\frac{5}{4}\left(y+z\right)^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\forall y,z>0\).
\(\Leftrightarrow\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\forall y;z>0\).
\(\Leftrightarrow x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}x\left(y+z\right)\forall x;y;z>0\left(1\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(y\sqrt{2x^2+xz+2z^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}y\left(x+z\right)\forall x;y;z>0\left(2\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}z\left(x+y\right)\forall x;y;z>0\left(3\right)\).
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\), ta được:
\(x\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+y\sqrt{2z^2+xz+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\)\(\ge\)\(\frac{\sqrt{5}}{2}\left[x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\right]=\sqrt{5}\left(xy+yz+zx\right)\).
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xyz}\left(x\sqrt{2y^2+yz+z^2}+y\sqrt{2z^2+zx+2x^2}+z\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\right)\)\(\ge\)\(\frac{\sqrt{5}\left(xy+yz+zx\right)}{xyz}=\sqrt{5}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\).
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{\sqrt{5}}{3}.3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{\sqrt{5}}{3}\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\)
\(\left(4\right)\).
Vì \(x,y,z>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta được:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\ge\)\(\left(1.\frac{1}{\sqrt{x}}+1.\frac{1}{\sqrt{y}}+1.\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\).
\(\Leftrightarrow\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\ge\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2=1^2=1\)
(vì\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}=1\)).
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{5}}{3}\left(1^2+1^2+1^2\right)\left[\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{z}}\right)^2\right]\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\)\(\left(5\right)\).
Từ \(\left(4\right)\)và \(\left(5\right)\), ta được:
\(P\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0\\\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=\sqrt{xyz}\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=9\).
Vậy \(minP=\frac{\sqrt{5}}{3}\Leftrightarrow x=y=z=9\).
19 tháng 5 2020
HSG toán 9 Quảng Nam năm 2018-2019
Giải: Từ đẳng thức đã cho suy ra: \(x>\frac{1}{2};y>\frac{1}{2};z>\frac{1}{2}\). Áp dụng (a+b)2 >= 4ab ta có:
\(\left(x+2y\right)^2=\left(\frac{2x+y}{2}+\frac{3y}{2}\right)^2\ge4\cdot\left(\frac{2x+y}{2}\right)\cdot\frac{3y}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+2y\right)^2\ge3y\left(2x+y\right)\). Dấu "=" xảy ra <=> x=y
\(\Rightarrow\frac{2x+y}{x+2y}\le\frac{x+2y}{3y}\Rightarrow\frac{2x+y}{x\left(x+2y\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{2y+z}{y\left(y+2z\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\\\frac{2z+x}{z\left(z+2x\right)}\le\frac{1}{3}\left(\frac{2}{z}+\frac{1}{x}\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\left("="\Leftrightarrow x=y=z\right)\)
Ta có \(\sqrt{\left(2x-1\right)\cdot1}\le\frac{\left(2x-1\right)+1}{2}\Rightarrow\sqrt{2x-1}\le2\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\)
Tương tự \(\frac{1}{y}\le\frac{1}{\sqrt{2y-1}},\frac{1}{z}\le\frac{1}{\sqrt{2z-1}}\)Do đó:
\(A\le\frac{1}{\sqrt{2x-1}}+\frac{1}{\sqrt{2y-1}}+\frac{1}{\sqrt{2z-1}}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Vậy GTLN của A=3 đạt được khi x=y=z=1
6 tháng 11 2018
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ( bđt phụ + Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
CM bđt phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
Chúc bạn học tốt ~
4 tháng 9 2021
Ta có: \(\dfrac{x^3}{y+2z}+\dfrac{y^3}{z+2x}+\dfrac{z^3}{x+2y}=\dfrac{x^4}{xy+2zx}+\dfrac{y^4}{yz+2xy}+\dfrac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+2zx+yz+2xy+zx+2yz}=\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\)
Mà ta lại có: \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\dfrac{1^2}{3.1}=\dfrac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Cho abc=1 va a3>36.CMR:a23+b2+c2>ab+bc+ca}
Lời giải:
VT−VP=a24+b2+c2−ab−bc+2bc+a212=(a2−b−c)2+a2−36bc12>0⇒ đpcm
Cách khác:
Từ giả thiết suy ra a>0 và bc>0. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
a23+(b+c)2−3bc−a(b+c)≥0⟺13+(b+ca)2−b+ca−3a3≥0
Vì a3>36 nên