Chứng minh rằng phương trình x3+x+1=0�3+�+1=0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn...
Đọc tiếp
Chứng minh rằng phương trình x3+x+1=0�3+�+1=0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
DQ
1
Những câu hỏi liên quan
CM
29 tháng 11 2017
- Xét hàm số f ( x ) = x 3 + x - 1 , ta có f(0) = -1 và f(1) = 1 nên: f(0).f(1) < 0.
- Mặt khác: f ( x ) = x 3 + x - 1 là hàm đa thức nên liên tục trên [0;1].
- Suy ra f ( x ) = x 3 + x - 1 đồng biến trên R nên phương trình x 3 + x - 1 = 0 có nghiệm duy nhất x 0 ∈ ( 0 ; 1 ) .
- Theo bất đẳng thức Côsi:
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2022
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+m+4\right)x^{2017}-2x+1\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R
\(f\left(0\right)=1>0\)
\(m^2+m+4=\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}>0\)
\(\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left[\left(m^2+m+4\right)x^{2017}-2x+1\right]=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^{2017}\left[\left(m^2+m+4\right)-\dfrac{2}{x^{2016}}+\dfrac{1}{x^{2017}}\right]=-\infty< 0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số âm \(a< 0\) sao cho \(f\left(a\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(0\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(a;0\right)\)
Hay pt đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi m
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2022
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+\left(m+1\right)=m^2-m+2=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\)
Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\)
Phương trình có cả 2 nghiệm không lớn hơn 3 khi: \(x_1< x_2\le3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-3\right)\left(x_2-3\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-3\left(x_1+x_2\right)+9\ge0\\x_1+x_2< 6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\left(m+1\right)+6\left(m-1\right)+9\ge0\\-2\left(m-1\right)< 6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge-\dfrac{2}{5}\\m>-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge-\dfrac{2}{5}\)
Vậy phương trình có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn 3 khi: \(m< -\dfrac{2}{5}\)
29 tháng 8 2020
x2+ax+1=0
Δ1=a²−4
x2+bx+1=0
Δ2=b²−4
Do ab≥4 nên có ít nhất 1 trong 2 số aa và b≥2
→ Hoặc Δ1=a²−4≥0
→ Hoặc Δ2=b²≥0
PL
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 3 2023
Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2-m+1\right)x^4-3x^3-1\)
\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R
\(f\left(0\right)=-1< 0\)
\(f\left(3\right)=81\left(m^2-m+1\right)-55=81\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{23}{4}>0\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(3\right)< 0\Rightarrow\) pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;3\right)\)
\(f\left(-1\right)=m^2-m+2=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\)
\(\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\Rightarrow\) pt có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-1;0\right)\)
\(\Rightarrow\) Pt có ít nhất 2 nghiệm thuộc \(\left(-1;3\right)\Rightarrow\) có ít nhất 2 nghiệm trên \(\left(-5;5\right)\)
PT
1
CM
22 tháng 3 2018
Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm :
- Xét hàm số: f ( x ) = 2 x 3 - 5 x 2 + x + 1 là hàm đa thức.
⇒ Hàm số f liên tục trên R.
- Ta có:
có ít nhất một nghiệm c1 ∈ (0;1).
có ít nhất một nghiệm c2 ∈ (2;3).
- Mà c ≠ c 2 nên PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2022
Đặt \(f\left(x\right)=5x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6\)
Hàm số liên tục trên R
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(5x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6\right)\)
\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(5+\dfrac{2m-1}{x}+\dfrac{m+6}{x^3}\right)=-\infty< 0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(a< 0\) sao cho \(f\left(a\right)< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left(5+\dfrac{2m-1}{x}+\dfrac{m+6}{x^3}\right)=+\infty.5=+\infty>0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(b>0\) sao cho \(f\left(b\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b) với mọi m
PT
1
CM
10 tháng 8 2017
Xét hàm số f ( x ) = x 5 − 5 x – 1 trên các đoạn [−2; −1], [−1; 0], [0; 3]
Đặt \(f\left(x\right)=x^3+x+1\) thì \(f\left(x\right)\) liên tục trên \(ℝ\)
Ta có \(f\left(-1\right)=\left(-1\right)^3-1+1=-1< 0\)
\(f\left(0\right)=1>0\)
\(\Rightarrow f\left(-1\right).f\left(0\right)< 0\)
Do đó tồn tại ít nhất 1 số \(c\in\left(-1;0\right)\) sao cho \(f\left(c\right)=0\). Điều này tương đương với pt \(x^3+x+1=0\) có ít nhất 1 nghiệm âm lớn hơn \(-1\).