Question

[Trung]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), AH là đường cao của tam giác ABC. P là điểm thay đổi nằm trong tam giác ABC và nằm trên đường phân giác của góc BAC. Đường tròn đường kính AP cắt AH tại L và cắt (O) tại điểm thứ hai là G. Gọi D là điểm chính giữ cung BC không chứa A. Chứng minh rẳng 3 điểm G,L,D thẳng hàng

Answer 1

[Lê Song Phương]

a) Gọi J là tâm đường tròn (AP)

 Xét đường tròn (J) có đường kính AP, \(L\in\left(J\right)\) nên \(\widehat{ALP}=90^o\) hay \(AH\perp LP\) tại L.

 Lại có \(AH\perp BC\) nên LP // BC.

 \(\Rightarrow\widehat{DPL}=\widehat{DEB}\) 

 Mặt khác, \(\widehat{DEB}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{BD}}{2}\) \(=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AC}+sđ\stackrel\frown{CD}}{2}\) \(=\dfrac{sđ\widehat{AD}}{2}\) \(=\widehat{AGD}\)

 Tứ giác AGLP nội tiếp nên \(\widehat{DPL}=\widehat{AGL}\)

 Từ đó suy ra \(\widehat{AGD}=\widehat{AGL}\)

 Hơn nữa, L, D nằm cùng phia đối với đường thẳng GA nên suy ra G, L, D thẳng hàng (đpcm).