cho a,b,c>0 và a+b+c=1 tìn min của M=1/a +1/4b +1/16c
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1)
Dạng tổng quát của BĐT Holder khá rắc rối. Người ta thường chú ý đến dạng phổ biến nhất là BĐT Holer bậc 3.
\((a^3+b^3+c^3)(m^3+n^3+p^3)(x^3+y^3+z^3)\geq (amx+bny+cpz)^3\)
Cách CM (AM-GM):
\(\frac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\frac{m^3}{m^3+n^3+p^3}+\frac{x^3}{x^3+y^3+z^3}\geq \frac{3axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}\)
Tương tự với với các bộ còn lại và cộng lại thu được đpcm
Áp dụng BĐT Holder bậc ba:
\((a^3+b^3+16c^3)(1+1+\frac{1}{4})(1+1+\frac{1}{4})\geq (a+b+c)^3\)
\(\Leftrightarrow (a^3+b^3+16c^3).\frac{81}{16}\geq (a+b+c)^3\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{16}{81}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{16}{81}\Leftrightarrow a=b=4c\)
\(B=\frac{a+b}{ab}+\frac{2}{a+b}=\frac{a+b}{2ab}+\frac{a+b}{2ab}+\frac{2}{a+b}\)
\(B\ge\frac{2\sqrt{ab}}{2ab}+2\sqrt{\frac{2\left(a+b\right)}{2ab\left(a+b\right)}}=3\)
\(B_{min}=3\) khi \(a=b=1\)
Câu b thì đề chắc phải cho a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác để đảm bảo các mẫu thức dương chứ?
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\a+c-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{x+z}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
\(T=\frac{2\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{2y}+\frac{8\left(x+y\right)}{z}\)
\(T=\frac{2y}{x}+\frac{2z}{x}+\frac{9x}{2y}+\frac{9z}{2y}+\frac{8x}{z}+\frac{8y}{z}\)
\(T=\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y}+\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z}+\frac{8y}{z}+\frac{9z}{2y}\)
\(T\ge2\sqrt{\frac{18xy}{2xy}}+2\sqrt{\frac{16xz}{xz}}+2\sqrt{\frac{72yz}{2yz}}=26\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}3x=2y\\z=2x\\4y=3z\end{matrix}\right.\)
\(A=\dfrac{1}{\dfrac{16}{a^2}}+\dfrac{1}{\dfrac{4}{b^2}}+\dfrac{1}{c^2}\)
\(A\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\)
\(A\ge\dfrac{49}{\dfrac{16}{1}}=\dfrac{49}{16}\)
"="<=>\(c^2=2b^2=4a^2\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(A=\left(\dfrac{1}{16a^2}+\dfrac{1}{4b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\ge\left(\sqrt{\dfrac{1}{16a^2}\cdot a^2}+\sqrt{\dfrac{1}{4b^2}\cdot b^2}+\sqrt{\dfrac{1}{c^2}\cdot c^2}\right)^2\)
\(=\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2=\dfrac{49}{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\dfrac{1}{16a^2}}{a^2}=\dfrac{\dfrac{1}{4b^2}}{b^2}=\dfrac{\dfrac{1}{c^2}}{c^2}\\a^2+b^2+c^2=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{\sqrt{7}};b=\sqrt{\dfrac{2}{7}};c=\dfrac{2}{\sqrt{7}}\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{4}{2ab+a^2+b^2}=\frac{4}{a+b)^2}=4(1)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(1=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{1}{4}\Rightarrow \frac{3}{2ab}\geq 6(2)\)
\(a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}\geq \frac{(\frac{(a+b)^2}{2})^2}{2}=\frac{1}{8}\) \(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \frac{1}{16}(3)\)
Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P\geq 4+6+\frac{1}{16}=\frac{161}{16}\)
Vậy \(P_{\min}=\frac{161}{16}\). Dấu bằng xảy ra tại $a=b=0,5$
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(2\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)\geq 2. \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{8}{(x+y)^2}=\frac{9}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{80}{81xy}+5xy\geq 2\sqrt{\frac{80}{81}.5}=\frac{40}{9}\)
\(\frac{4}{3}=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq \frac{4}{9}\Rightarrow \frac{1}{81ab}\geq \frac{1}{36}\)
Cộng những BĐT vừa cm được ở trên với nhau:
\(\Rightarrow A\geq \frac{9}{2}+\frac{40}{9}+\frac{1}{36}=\frac{323}{36}\)
Vậy \(A_{\min}=\frac{323}{36}\Leftrightarrow a=b=\frac{2}{3}\)
Câu 1
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\\ \Leftrightarrow N=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{16}}+\dfrac{15}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Câu 2:
\(P=a+\dfrac{1}{a}+2b+\dfrac{8}{b}+3c+\dfrac{27}{c}+4\left(a+b+c\right)\\ P\ge2\sqrt{1}+2\sqrt{16}+2\sqrt{81}+4\cdot6=2+8+18+4=32\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)
Câu 3: Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [ -1;2 ] thõa mãn \(a^2+b^2+c^2=6.\) CMR : \(a+b+c>0\) - Hoc24
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{1}{a}+a\geq 2\sqrt{\frac{1}{a}.a}=2$
$\frac{1}{4b}+b\geq 2\sqrt{\frac{1}{4b}.b}=1$
$\frac{1}{16c}+c\geq 2\sqrt{\frac{1}{16c}.c}=\frac{1}{2}$
Cộng các BĐT trên lại suy ra:
$M+a+b+c\geq 2+1+\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow M+1\geq 2+1+\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow M\geq \frac{5}{2}$
Vậy $M_{\min}=\frac{5}{2}$