Question

[Nguyễn TQ]

Câu 3. (3,0 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Một dây cung AC bất kỳ. Gọi K là trung điểm của BC. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt tia OK tại D. Gọi CH là đường cao của tam giác ABC. a) Chứng minh BD = DC và DC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Chứng minh 4 điểm C, H, O, K cùng thuộc 1 đường tròn, xác định tâm và bán kính đường tròn đó.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Ta có: ΔOBC cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK\(\perp\)BC và OK là phân giác của góc BOC

OK là phân giác của góc BOC

=>\(\widehat{BOK}=\widehat{COK}\)

=>\(\widehat{BOD}=\widehat{COD}\)

Xét ΔOBD và ΔOCD có

OB=OC

\(\widehat{BOD}=\widehat{COD}\)

OD chung

Do đó: ΔOBD=ΔOCD

=>DB=DC

ΔOBD=ΔOCD

=>\(\widehat{OBD}=\widehat{OCD}\)

mà \(\widehat{OBD}=90^0\)

nên \(\widehat{OCD}=90^0\)

=>DC\(\perp\)CO tại C

=>DC là tiếp tuyến của (O)

b: Xét tứ giác CHOK có

\(\widehat{CHO}+\widehat{CKO}=90^0+90^0=180^0\)

nên CHOK là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính CO

=>C,H,O,K cùng thuộc một đường tròn

tâm là trung điểm của CO

Bán kính là \(\dfrac{CO}{2}\)