tìm giá trị nhỏ nhất của: \(P=a+\frac{1}{a}+\frac{a}{\left(a+1\right)^2}\)với a>0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 12 2016
Ta có
\(M=\left(1+a\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)+\left(1+b\right)\left(1+\frac{1}{a}\right)=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
\(\ge2+2+a+b+\frac{4}{a+b}\)
\(=4+a+b+\frac{2}{a+b}+\frac{2}{a+b}\)
\(\ge4+2\sqrt{\left(a+b\right).\frac{2}{\left(a+b\right)}}+\frac{2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)
\(=4+2\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}\)
PG
13 tháng 2 2020
Phá tung ngoặc
\(A=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\)
\(=a^2+2+\frac{1}{a^2}+b^2+2+\frac{1}{b^2}\)
\(=a^2+b^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+4\)
\(\ge a^2+b^2+\frac{4}{a^2+b^2}+4\)
Đặt \(x=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\)
Làm nốt
13 tháng 2 2020
Áp dụng bđt Bunhiacopski ta có
\(A=\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2=\frac{\left(a+\frac{1}{a}\right)^2}{1}+\frac{\left(b+\frac{1}{b}\right)^2}{1}\ge\frac{\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\)
mà \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=4\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
Mới thi hk1 bài nãy _._
12 tháng 11 2016
a+b=2=> a=2-b
\(\Rightarrow\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\left(\frac{a^2-4}{a^2}\right)\left(\frac{b^2-4}{b^2}\right)=\frac{\left(2-b\right)^2-4}{\left(2-b\right)^2}.\frac{b^2-4}{b^2}\)
=\(\frac{b^2-2b-8}{b^2-2b}\)
đặt A=\(\frac{b^2-2b-8}{b^2-2b}\)
đkxđ \(\hept{\begin{cases}b\ne0\\b\ne2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow Ab^2-2bA=b^2-2b-8\)
\(\Leftrightarrow\left(A-1\right)b^2-2\left(A-1\right)b+8=0\)
nếu A=1 => 8=0 (vô lý)
nếu A khác 1 pt có nghiệm khi \(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left[-2\left(A-1\right)\right]^2-4\left(A-1\right).8\ge0\)
\(4A^2-40A+36\ge0\Leftrightarrow A^2-10A+9\ge0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}A\le1\\A\ge9\end{cases}}\)
GTNN A=9 dấu "=" <=> a=b=1
bạn ơi mình đặt nhầm B thành A rồi bn tự sửa lại nhé!
12 tháng 11 2016
\(B=\left(1-\frac{4}{a^2}\right)\left(1-\frac{4}{b^2}\right)=\left(1-\frac{2}{a}\right)\left(1-\frac{2}{b}\right)\left(1+\frac{2}{a}\right)\left(1+\frac{2}{b}\right)\)
\(=\frac{\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{a^2b^2}=\frac{ab.\left(a+2\right)\left(b+2\right)}{a^2b^2}=\frac{ab+2\left(a+b\right)+4}{ab}=\frac{8}{ab}+1\)
Theo BĐT Cauchy thì : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
Suy ra : \(A\ge\frac{8}{\frac{2^2}{4}}+1=9\).Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1/2
Vậy ......................................