Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi I là trung điểm CG và M,N là các điểm thỏa mãn vectơ MN = vectơ MA + vectơ MB + 4 vectơ MC . Chứng minh rằng 3 điểm M, I , N thẳng hàng.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 2 2022
Lời giải:
a. $I$ là trung điểm $AH$, $J$ là trung điểm $HC$ nên $IJ$ là đường trung bình ứng với cạnh $AC$ của tam giác $HAC$
$\Rightarrow IJ\parallel AC$ hay $IJ\perp AB$
Tam giác $BAJ$ có $AI\perp BJ, JI\perp AB$ nên $I$ là trực tâm tam giác
$\Rightarrow BI\perp AJ$
b. Gọi $T,K$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$
\((\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})=(\overrightarrow{MT}+\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{MT}+\overrightarrow{TB})(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KC})\)
\(=2\overrightarrow{MT}.2\overrightarrow{MK}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{MK}\perp \overrightarrow{MT}\)
Vậy $M$ nằm trên đường tròn đường kính $KT$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 9 2021
\(\overrightarrow{ME}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\overrightarrow{MC}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{ME}\)
\(EB=2EA\Rightarrow\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EA}\)
Ta có: \(\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{MB}+2\left(\overrightarrow{EM}+\overrightarrow{MA}\right)=\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{MA}\)
\(\Rightarrow3\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MA}\Rightarrow\overrightarrow{ME}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{MB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{MA}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{MC}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{ME}=-\dfrac{1}{9}\overrightarrow{MB}-\dfrac{2}{9}\overrightarrow{MA}\)
\(\Rightarrow\dfrac{2}{9}\overrightarrow{MA}=-\dfrac{1}{9}\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\Rightarrow\overrightarrow{MA}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{MB}-\dfrac{9}{2}\overrightarrow{MC}\)
29 tháng 12 2023
Xét ΔBAD có BM là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{5}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{6}\left(5\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{5}{6}\left(\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\right)\)
\(\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}\)
\(=\overrightarrow{BA}+\dfrac{2}{5}\overrightarrow{BC}\)
=>\(\overrightarrow{BM}=\dfrac{5}{6}\cdot\overrightarrow{BN}\)
=>B,M,N thẳng hàng
Ta có:
\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\)
\(=6\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+4\overrightarrow{IC}\)
\(=6\overrightarrow{MI}+4\overrightarrow{IG}+4\overrightarrow{IC}\)
\(=6\overrightarrow{MI}\)
\(\Rightarrow M,I,N\) thẳng hàng