Cho số \(a=\sqrt{65}-\sqrt{63}.\)
Chứng minh\(\frac{1}{8}< a< \frac{2}{15}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TH
12 tháng 10 2020
a.\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{n+1-n}=2\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\)
áp dụng công thức cho biểu thức A có A>\(2\left(-\sqrt{2}+\sqrt{26}\right)>7\left(1\right)\)
(so sánh bình phương 2 số sẽ ra nha)
\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{n-n+1}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
áp dụng công thức cho biểu thức A ta CM được
A<\(2\left(\sqrt{2}-\sqrt{2-1}+\sqrt{3}-\sqrt{3-1}+...+\sqrt{25}-\sqrt{25-1}\right)\)
=\(2\left(-\sqrt{1}+\sqrt{25}\right)=2\left(-1+5\right)=2\cdot4=8\left(2\right)\)
từ (1) và (2) => ĐPCM
b. tương tự câu a ta CM đc BT đã cho=B>\(2\sqrt{51}-2\)> \(5\sqrt{2}\left(1\right)\)
và B<\(2\sqrt{50}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2\cdot50}=10\sqrt{2}\left(2\right)\)
từ (1) và (2)=>ĐPCM
(bạn nhớ phải biến đổi 1 thành 1/\(\sqrt{1}\) trc khi áp dụng công thức nha)
MỜI BẠN THAM KHẢO
22 tháng 3 2020
Ta có: \(4b\sqrt{c}-c\sqrt{a}=\sqrt{c}\left(4b-\sqrt{ac}\right)>0\)( do \(1< a,b,c< 2\))
Tương tự => Các MS dương
\(VT=\frac{ba}{4b\sqrt{ac}-ca}+\frac{cb}{4c\sqrt{ba}-ab}+\frac{ac}{4a\sqrt{bc}-bc}\)
Áp dụng BĐT cosi schawr ta có
\(VT\ge\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)^2}{4b\sqrt{ac}+4c\sqrt{ab}+4a\sqrt{bc}-ab-bc-ac}\)
Áp dụng cosi ta có \(2b\sqrt{ac}=2\sqrt{ab}.\sqrt{ac}\le ab+ac\);\(2c\sqrt{ab}\le ac+bc\);\(2a\sqrt{bc}\le ab+ac\)
=> \(VT\ge\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)^2}{ab+bc+ac+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}}=\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)^2}{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)^2}=1\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Y
19 tháng 6 2019
1. \(A=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^2}}{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
3. \(\frac{\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}}:\frac{1}{\sqrt{1-a^2}}\) \(=\frac{\sqrt{\left(1-a\right)}\cdot\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}\cdot\sqrt{1-a}}\cdot\sqrt{1-a^2}\)
\(=\frac{1-a}{\sqrt{1-a^2}}\cdot\sqrt{1-a^2}=1-a\)
12 tháng 12 2017
\(\hept{\begin{cases}\frac{2}{2\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\\\frac{2}{2\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\end{cases}}\)
Từ đây ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
\(=2\left(\sqrt{n}-0\right)=2\sqrt{n}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
\(=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)>\sqrt{n}\)
NN
12 tháng 12 2017
Gọi \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}=A\)là A
Có \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}}>...>\frac{1}{\sqrt{n}}\)
=> \(A>n.\frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\)(1)
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)\)
=> \(\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
Khi đó: \(\frac{1}{\sqrt{1}}< 2\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}\right)\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}< 2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\)
...
\(\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
=> \(A< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}\right)\)
=> \(A< 2\sqrt{n}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\sqrt{n}< A< 2\sqrt{n}\)
21 tháng 9 2020
a)\(G=\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}\)
\(=\frac{x+2+\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}.\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\frac{x+2+x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}.\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}.\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}.\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)
\(=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)
b) \(x+\sqrt{x}+1>0\Rightarrow G>0\)
\(x+\sqrt{x}+1>0+0+1=1\)
\(\Rightarrow\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}< \frac{2}{1}=2\Rightarrow G< 2\)
\(\Rightarrow O< G< 2\)
5 tháng 11 2017
b, \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}\)
\(\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{100}}=\frac{1}{10}\)
.............................................
Cộng với vế 99 của BĐT trên, ta được:
\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}>99.\frac{1}{10}=\frac{99}{10}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{100}}>\frac{99}{10}=\frac{1}{10}=\frac{100}{10}=10\)
25 tháng 11 2017
Wrecking Ball đã làm đúng
to ra kết quả giống cậu : Wrecking Ball
là đáp án đúng
tk nha ( chúc bn học gioi )
Ta có:
\(\left(\sqrt{65}+\sqrt{63}\right)^2=128+2\sqrt{65.63}< 128+2\sqrt{64.64}=\left(\sqrt{64}+\sqrt{64}\right)^2\Rightarrow\sqrt{65}+\sqrt{63}< \sqrt{64}+\sqrt{64}\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{65}-\sqrt{63}=\frac{2}{\sqrt{65}+\sqrt{63}}>\frac{2}{\sqrt{64}+\sqrt{64}}=\frac{2}{2\sqrt{64}}=\frac{1}{8}\)
Ta có:
\(a=\frac{2}{\sqrt{65}+\sqrt{63}}< \frac{2}{\sqrt{64}+\sqrt{49}}=\frac{2}{15}\)
Vậy \(\frac{1}{8}< a< \frac{2}{15}\)