Question

[mai phương nguyễn]

Cho tử giác ABCD có diện tích bằng 120cm'. Trên cạnh AB lấy trung điểm M, trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BN = 2NC, trên cạnh CD lấy trung điểm P, trên cạnh DA lấy điểm Q sao cho DQ = 2QA. Tính diện tích hình tứ giác MNPQ

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

Ta có: BN+NC=BC

=>BC=2NC+NC=3NC

=>\(BN=\frac23BC\) và \(CN=\frac13\times BC\)

M là trung điểm của AB

=>\(S_{CBM}=\frac12\times S_{CBA}\)

Vì \(BN=\frac23\times BC\)

nên \(S_{MBN}=\frac23\times S_{MBC}=\frac23\times\frac12\times S_{CBA}=\frac13\times S_{CBA}\)

Ta có: AQ+QD=AD

=>AD=2QA+QA=3QA

=>\(\frac{DQ}{DA}=\frac23\) và \(AQ=\frac13\times AD\)

Ta có: P là trung điểm của CD

=>\(S_{APD}=\frac12\times S_{ADC}\)

\(DQ=\frac23\times DA\) nên \(S_{DQP}=\frac23\times S_{DPA}=\frac23\times\frac12\times S_{ADC}=\frac13\times S_{ADC}\)

=>\(S_{MBN}+S_{QDP}=\frac13\times\left(S_{BAC}+S_{DAC}\right)=\frac13\times S_{ABCD}\)

M là trung điểm của AB

=>\(S_{DMA}=\frac12\times S_{DBA}\)

Vì \(AQ=\frac13\times AD\) nên \(S_{AQM}=\frac13\times S_{AMD}=\frac13\times\frac12\times S_{DBA}=\frac16\times S_{DBA}\)

Vì P là trung điểm của CD

nên \(S_{BPC}=\frac12\times S_{BDC}\)

Vì \(CN=\frac13\times CB\)

nên \(S_{PNC}=\frac13\times S_{BPC}=\frac13\times\frac12\times S_{BDC}=\frac16\times S_{BDC}\)

=>\(S_{AQM}+S_{CNP}=\frac16\times\left(S_{ABD}+S_{BDC}\right)=\frac16\times S_{ABCD}\)

Ta có: \(S_{AQM}+S_{CPN}+S_{BMN}+S_{DQP}+S_{MNPQ}=S_{ABCD}\)

=>\(S_{ABCD}\left(\frac13+\frac16\right)+S_{MNPQ}=S_{ABCD}\)

=>\(S_{MNPQ}=S_{ABCD}-\frac12\times S_{ABCD}=\frac12\times S_{ABCD}=\frac{120}{2}=60\left(\operatorname{cm}^2\right)\)