Question

[30.Nɠυұễɳ Tɦàɲɦ Pɦúƈ ヅ]

Cho ∆ABC nhọn, đường tròn tâm O có đường kính BC cắt AB, AC lần lượt ở D và E. Gọi H là giao điểm của BE và DC, K là giao điểm của AH và BC.

a) Tính số đo góc BDC và góc BEC.

b) Cm 4 điểm A, D, H, E cùng thuộc một đường tròn, xác định tâm I của đường tròn. 

c) Gọi M là trung điểm HC. Cm IM ⊥ OM.

d) Cm tiếp tuyến tại D và E của đường tròn (O) cắt nhau tại I. 

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔDCB vuông tại D

=>CD\(\perp\)DB tại D và \(\widehat{CDB}=90^0\)

=>CD\(\perp\)AB tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>\(\widehat{BEC}=90^0\)

ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)EB tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

b:

Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

=>ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>A,D,H,E cùng thuộc đường tròn đường kính AH

=>I là trung điểm của AH

c: Xét ΔABC có 

BE,CD là đường cao

BE cắt CD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại K

Xét ΔHAC có

I,M lần lượt là trung điểm của HA,HC

=>IM là đường trung bình của ΔHAC

=>IM//AC

Xét ΔBHC có

M,O lần lượt là trung điểm của CH,CB

=>MO là đường trung bình của ΔBHC

=>OM//BH

OM//BH

BH\(\perp\)AC

Do đó: OM\(\perp\)AC

IM//AC

OM\(\perp\)AC

Do đó: IM\(\perp\)OM

d: ID=IH

=>ΔDIH cân tại I

=>\(\widehat{IDH}=\widehat{IHD}\)

mà \(\widehat{IHD}=\widehat{KHC}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{KHC}=\widehat{CBD}\left(=90^0-\widehat{DCB}\right)\)

nên \(\widehat{IDH}=\widehat{CBD}\)

OD=OC

=>ΔODC cân tại O

=>\(\widehat{ODC}=\widehat{OCD}\)

=>\(\widehat{HDK}=\widehat{DCB}\)

\(\widehat{IDK}=\widehat{IDH}+\widehat{KDH}\)

\(=\widehat{DBC}+\widehat{DCB}=90^0\)

=>ID là tiếp tuyến của (O)(1)

Xét ΔIDO và ΔIEO có

ID=IE

DO=EO

IO chung

Do đó: ΔIDO=ΔIEO

=>\(\widehat{IDO}=\widehat{IEO}=90^0\)

=>IE là tiếp tuyến của (O)(2)

Từ (1),(2) suy ra các tiếp tuyến tại D và E của (O) cắt nhau tại I(ĐPCM)