- Với a,b,c lon 0 chứng minh rằng a/b+b/c + c/a >=(a+)/(b+c) +(b+c)/(a+b)+1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
VT
1
Những câu hỏi liên quan
KN
0
G
0
LC
4 tháng 6 2015
Ta có: a+b+c=0
=>a+b=0-c
a+c=0-b
b+a=0-c
b+c=0-a
c+a=0-b
c+b=0-a
Lại có:
M=a(a+b)(a+c)=a(0-c)(0-b)=0.a.(0-b)-c.a.(0-b)=0-0.c.a+a.b.c=0-0+abc=abc
N=b(b+c)(b+a)=b(0-a)(0-c)=0.b.(0-c)-a.b.(0-c)=0-0.a.b+a.b.c=0-0+abc=abc
P=c(c+a)(c+b)=c(0-b)(0-a)=0.c.(0-a)-b.c.(0-a)=0-0.b.c+a.b.c=0-0+abc=abc
=> M=N=P=abc
Vậy M=N=P
NQ
2
5 tháng 3 2019
\(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}\ge\frac{a-d}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}-\frac{a-d}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a-b}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b-c}{c+d}+1\right)+\left(\frac{c-d}{a+d}+1\right)+\left(\frac{d-a}{a+b}+1\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{a+d}+\frac{d+b}{a+b}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4\)(1)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{a+d}+\frac{d+b}{a+b}\ge\)\(\left(a+c\right)\frac{2}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+d\right)}}+\left(b+d\right)\frac{2}{\sqrt{\left(c+d\right)\left(a+b\right)}}\ge\frac{4\left(a+c\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}=\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=4 \left(2\right)\)Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}\ge\frac{a-d}{a+b}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+d}\\\frac{1}{c+d}=\frac{1}{a+b}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b+c=a+d\\c+d=a+b\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d\)
8 tháng 3 2019
vì sao
(a+c)(2/căn bậc 2 của(b+c)(a+d))+(b+d)(2/căn bậc 2 của (c+d)(a+b))
>=(4(a+c)/a+b+c+d) +4(b+d)/a+b+c+d
(căn bậc 2 máy mink ko viết đc)
T
24 tháng 11 2019
Tiện tay chém trước vài bài dễ.
Bài 1:
\(VT=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Nhưng dấu bằng không xảy ra nên ta có đpcm. (tui dùng cái kí hiệu tổng cho nó gọn thôi nha!)
Bài 2:
1) Thấy nó sao sao nên để tối nghĩ luôn
2)
c) \(VT=\left(a-b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi a = 0; b = 1
9 tháng 7 2019
Áp dụng bđt Cauchy:
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự:
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ac}{2}\)
Cộng theo vế: \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\ge3-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
NH
1
9 tháng 7 2016
\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\)
Có:
- \(\frac{ab+ad}{b\left(b+d\right)}< \frac{ab+bc}{b\left(b+d\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a\left(b+d\right)}{b\left(b+d\right)}< \frac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+d\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(1\right)\)
- \(\frac{ad+cd}{d\left(b+d\right)}< \frac{bc+cd}{d\left(b+d\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{d\left(a+c\right)}{d\left(b+d\right)}< \frac{c\left(b+d\right)}{d\left(b+d\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
đã có rồi nhé vào CHTT tìm