Cho 2>a,b,c>0. Cmr: 3 số a(2-b), b(2-c), c(2-a) ko thể cùng đồng thời >1
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
THỬ XEM NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ VÀ NÂNG CAO PHÁT TRIỂN XEM CÓ KHÔNG
Chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử X, Y, Z đồng thời lớn hơn 1
\(a\left(2-b\right)>1\Rightarrow2-b>a\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+b< 2\)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{b}+c< 2;\text{ }\frac{1}{c}+a< 2\)
Cộng ba bất đẳng thức trên lại, ta được \(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}< 6\text{ (1)}\)
Mặt khác, theo bđt Côsi, ta luôn có:
\(a+\frac{1}{a}\ge2;\text{ }b+\frac{1}{b}\ge2;\text{ }c+\frac{1}{c}\ge2\)
\(\Rightarrow a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge6\text{ (2)}\)
(1) và (2) hoàn toàn mâu thuẩn với nhau, nên điều giả sử sai.
Vậy ta có đpcm.
\(1,a+b+c=0\Leftrightarrow a=-b-c\Leftrightarrow a^2=b^2+2bc+c^2\Leftrightarrow b^2+c^2=a^2-2bc\)
Tương tự: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=c^2-2ab\\c^2+a^2=b^2-2ac\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow N=\dfrac{a^2}{a^2-a^2+2bc}+\dfrac{b^2}{b^2-b^2+2ca}+\dfrac{c^2}{c^2-c^2+2ac}\\ \Leftrightarrow N=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ac}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3-3abc+3abc}{2abc}\\ \Leftrightarrow N=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)+3abc}{2abc}\\ \Leftrightarrow N=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)
cho 2 biểu thức mà c/m 1 biểu thức M là sao
Biểu thức N vứt sọt à hay làm cái j v :V
tớ cũng nghĩ vậy nhưng mãi sau mới biết chứng minh M =N rồi chứng minh N >=(a+b+c)/8 để suy ra M >=(a+b+c)/8