vs \(a\ge0;b\ge0\)
cm \(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 9 2021
\(\dfrac{\sqrt{ab}-b}{b}-\sqrt{\dfrac{a}{b}}\le0vớia\ge0;b\ge0\)
14 tháng 9 2021
$\frac{\sqrt{ab}-b}{b}-\sqrt{\frac{a}{b}}\le 0vớia\ge 0;b\ge 0$
AD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 2 2020
\(3a^3+3b^3+3b^3+b^3\ge3\sqrt[3]{27a^3b^6}+b^3=9ab^2+b^3\ge9ab^2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=0\)
23 tháng 10 2021
a) \(C=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{4\sqrt{x}}{x-1}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2-4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)
\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)
b) \(C=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1=3\sqrt{x}-3\Leftrightarrow2\sqrt{x}=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\Leftrightarrow x=4\left(tm\right)\)
BN
27 tháng 8 2017
Ta có :\(a+b+\dfrac{1}{2}=a+b+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\left(a+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b+\dfrac{1}{4}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có :
\(a+\dfrac{1}{4}\ge2\sqrt{a.\dfrac{1}{4}}=\sqrt{a}\)
\(b+\dfrac{1}{4}\ge2\sqrt{b.\dfrac{1}{4}}=\sqrt{b}\)
Do đó :\(a+b+\dfrac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Dấu "=" xảy ra khi :\(a=b=\dfrac{1}{4}\)
Vậy với \(a,b\ge0\) thì \(a+b+\dfrac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
27 tháng 8 2017
Ta có: \(a+b+\dfrac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{a}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b-2\sqrt{b}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
\(\Rightarrowđpcm\)
19 tháng 5 2022
a: \(A=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)+2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-5\sqrt{x}-2}{x-4}\)
\(=\dfrac{x+3\sqrt{x}+2+2x-4\sqrt{x}-5\sqrt{x}-2}{x-4}\)
\(=\dfrac{3x-6\sqrt{x}}{x-4}=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\)
b: Để A=2 thì \(3\sqrt{x}=2\sqrt{x}+4\)
hay x=16
26 tháng 7 2017
a)\(\sqrt{\sqrt{\left(\sqrt{3-1}\right)^4}}\)\(=\sqrt{\left(\sqrt{3-1}\right)^2}\)
\(=\sqrt{3-1}=\sqrt{2}\)
b)\(\sqrt{\sqrt{x^4}}=\sqrt{x^2}=x\)
LN
2
9 tháng 8 2017
Ta có :
\(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}\)
\(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}=\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall b\ge0\Rightarrow b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)(đpcm)
Áp dụng BĐT căn trung bình bình phương ta có:
*BĐT này mk ko biết rõ tên nó viết cả ra :v, dạng tổng quát nó đây (kiểu AM-GM ấy)*
với a1;a2;...an ko âm thì \(\sqrt{\frac{a_1^2+b_1^2+....+a_n^2}{n}}\ge\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\)
\(VT=\sqrt{\frac{a+b}{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}}{2}}\)
\(\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}=VP\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)