Question

[Nguyễn Lâm Ngọc]

Cho A= 111...1 ( 2008 chữ số 1)        

       B= 100..05 ( 2007 chữ số 0)

Chứng minh rằng \(\sqrt{AB+1}\)là số tự nhiên

Answer 1

[Trần Đức]

Để \(\sqrt{AB+1}\in N\) thì AB+1 phải là số chính phương

Đặt 2008 = n 

Ta có A = 11..1= \(\frac{10^n-1}{9}\)

         B = 100..05 =10..00(2008 chữ số 0) +5 = 10ⁿ+5

\(\Rightarrow AB+1=\frac{10^n-1}{9}.\left(10^n+5\right)+1\)

                      \(=\frac{\left(10^n-1\right)\left(10^n+5\right)+9}{9}=\frac{10^{2n}+5.10^n-10^n-5+9}{9}\)

                        \(=\frac{10^{2n}+4.10^n+4}{9}=\frac{\left(10^n+2\right)^2}{9}=\left(\frac{10^n+2}{3}\right)^2\)  

      Mà 10ⁿ+2 có tổng các chữ số bằng 3 nên chia hết cho 3 

  Suy ra AB+1 là số chính phương 

\(\Rightarrow\sqrt{AB+1}\)LÀ SỐ TỰ NHIÊN

Answer 2

[Game Master VN]

ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]