Cho a,b,c>=0 Tìm GTNN \(A=\sqrt{3+3^a}+\sqrt{3+3^b}+\sqrt{3+3^c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TV
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2020
\(\dfrac{4}{3}=a+2\sqrt{\dfrac{a}{4}.b}+\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{\dfrac{a}{2}.2b.8c}\)
\(\dfrac{4}{3}\le a+\dfrac{a}{4}+b+\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{a}{2}+2b+8c\right)=\dfrac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow a+b+c\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{16}{21};\dfrac{4}{21};\dfrac{1}{21}\right)\)
1 tháng 1 2021
Anh ơi cho em hỏi làm sao để tách/tìm điểm rơi như thế này ạ?
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2020
\(M\ge\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}}{2}+\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}}{2}+\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)^2}}{2}\)
\(M\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 1 2020
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\sqrt[3]{a+3b}=\sqrt[3]{1.1.(a+3b)}\leq \frac{1+1+a+3b}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geq \frac{3}{a+3b+2}\)
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
$\Rightarrow P\geq 3\left(\frac{1}{a+3b+2}+\frac{1}{b+3c+2}+\frac{1}{c+3a+2}\right)$
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz:
\(\frac{1}{a+3b+2}+\frac{1}{b+3c+2}+\frac{1}{c+3a+2}\geq \frac{9}{4(a+b+c)+6}=\frac{9}{4.\frac{3}{4}+6}=1\)
Do đó: $P\geq 3.1=3$
Vậy $P_{\min}=3$ khi $a=b=c=\frac{1}{4}$
KK
5 tháng 2 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow B=\frac{\sqrt{a^3+b^3+1}}{ab}+\frac{\sqrt{b^3+c^3+1}}{bc}+\frac{\sqrt{a^3+c^3+1}}{ac}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\left(a^3+b^3+1\right)\left(b^3+c^3+1\right)\left(a^3+c^3+1\right)}}\)
Xét \(3\sqrt[3]{\sqrt{\left(a^3+b^3+1\right)\left(b^3+c^3+1\right)\left(c^3+a^3+1\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}a^3+b^3+1\ge3\sqrt[3]{a^3b^3}=3ab\\b^3+c^3+1\ge3\sqrt[3]{b^3c^3}=3bc\\c^3+a^3+1\ge3\sqrt[3]{a^3c^3}=3ac\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{a^3+b^3+1}\ge\sqrt{3ab}\\\sqrt{b^3+c^3+1}\ge\sqrt{3bc}\\\sqrt{c^3+a^3+1}\ge\sqrt{3ac}\end{matrix}\right.\)
Nhân theo từng vế:
\(\Rightarrow\sqrt{\left(a^3+b^3+1\right)\left(b^3+c^3+1\right)\left(c^3+a^3+1\right)}\ge\sqrt{27a^2b^2c^2}=\sqrt{27}\)
\(\Rightarrow3\sqrt[3]{\sqrt{\left(a^3+b^3+1\right)\left(b^3+c^3+1\right)\left(c^3+a^3+1\right)}}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{27}}\)
Mà \(\frac{\sqrt{a^3+b^3+1}}{ab}+\frac{\sqrt{b^3+c^3+1}}{bc}+\frac{\sqrt{a^3+c^3+1}}{ac}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{\left(a^3+b^3+1\right)\left(b^3+c^3+1\right)\left(c^3+a^3+1\right)}}\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{a^3+b^3+1}}{ab}+\frac{\sqrt{b^3+c^3+1}}{bc}+\frac{\sqrt{a^3+c^3+1}}{ac}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{27}}\)
\(\Rightarrow B\ge3\sqrt[3]{\sqrt{27}}\)
Vậy GTNN của \(B=3\sqrt[3]{\sqrt{27}}\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Thiếu đề ^^
Bài này phải cho a+b+c= Q ( Q là 1 STN nào đấy ^^ )