Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, E là trung điểm của AD. Vẽ \(DM⊥BE\) tại M.
CMR: \(AM⊥CM\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LD
4 tháng 12 2017
Gọi N, H lần lượt là trung điểm của BM và DM.
Xét tam giác ABC cân tại A ta có:
AD là đường cao (gt)
=> AD là đường trung tuyến của tam giác ABC
=> D trung điểm BC
Xét tam giác BMC ta có:
N trung điểm BM (cách vẽ)
D trung điểm BC (cmt)
=> ND là đường trung bình của tam giác BMC
=> ND // MC
Xét tam giác AMD ta có:
H trung điểm MD (cách vẽ)
E trung điểm AD (gt)
=> HE là đường trung bình của tam giác AMD
=> HE // AM
Xét tam giác BMD ta có:
N trung điểm MB (cách vẽ)
H trung điểm MD (cách vẽ)
=> NH là đường trung bình của tam giác BMD
=> NH // BD
Mà BD _|_ AD tại D (AD là đường cao của tam giác ABC)
Nên NH _|_ ED (E thuộc AD)
Xét tam giác BDE ta có:
DM là đường cao (DM _|_ BE tại M)
NH là đường cao (NH _|_ ED)
DM cắt NH tại H (gt)
=> H là trực tâm của tam giác BED
=> EH là đường cao thứ 3 của tam giác BED
=> EH _|_ ND
Mà ND // MC (cmt)
Nên EH _|_ MC
Mặt khác EH // AM (cmt)
=> AM _|_ MC tại M (đpcm)
Gọi I là giao điểm của MC và AD
\(\Delta AMI\) vuông tại A => \(\widehat{IAM}+\widehat{AIM}=90^0\Rightarrow\widehat{IAM}=90^0-\widehat{AIM}\) (1)
\(\Delta DIC\) vuông tại D => \(\widehat{DIC}+\widehat{DCI}=90^0\Rightarrow\widehat{DCI}=90^0-\widehat{DIC}\) (2)
Ta lại có \(\widehat{AIM}=\widehat{DIC}\) (Đối đỉnh) (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) => \(\widehat{IAM}=\widehat{DCI}\)
Vì \(\widehat{AEM}\) Là góc ngoài của tam giác DME nên \(\widehat{AEM}=\widehat{DME}+\widehat{MDE}=90^0+\widehat{MDE}\)(4)
Ta có \(\widehat{MDC}=\widehat{MDE}+\widehat{EDC}=90^0+\widehat{MDE}\)(5)
Từ (4) ; (5) => \(\widehat{AEM}=\widehat{MDC}\)
\(\Delta AEM\) có \(\widehat{AEM}+\widehat{AME}+\widehat{EAM}=180^0\) (Định lý tổng 3 góc của 1 tam giác)
\(\Rightarrow\widehat{AME}=180^0-\widehat{AEM}-\widehat{EAM}\)(6)
\(\Delta MDC\)có \(\widehat{MDC}+\widehat{DMC}+\widehat{DCM}=180^0\)(Định lý tổng 3 góc của 1 tam giác)
\(\Rightarrow\widehat{DMC}=180^0-\widehat{MDC}-\widehat{DCM}\) (7)
Ta lại có : \(\widehat{AEM}=\widehat{MDC};\widehat{EAM}=\widehat{DCM}\) (cm trên) (8)
Từ (6) ; (7) ; (8) => \(\widehat{AME}=\widehat{DMC}\)
Mà \(\widehat{DMC}+\widehat{EMC}=90^0\Rightarrow\widehat{AME}+\widehat{EMC}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{AMC}=90^0\) Hay \(AM⊥CM\) (đpcm)
bài làm của Đinh Đức Hùng hình như bị sai á , bạn bảo góc AMI = 90 độ thì bạn thừa nhận AM vuông góc với MC rồi vì I là giao của AD và MC , đó là cái ta cần c.m